Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên

[0; 1]

:

4^{x + 1} + 4^{1 - x} = (m + 1) (2^{2 + x} - 2^{2 - x}) + 16 - 8 m

?
A. 2
B. 5
C. 4
D. 3

Phương trình tương đương với:

4 (4^{x} + 4^{- x}) = 4 (m + 1) (2^{x} - 2^{- x}) + 16 - 8 m

Đặt

t = 2^{x} - 2^{- x}

.
Ta có:

t^{'} = 2^{x} + 2^{- x} > 0

.
Do đó

\forall x \in [0; 1]

thì

t \in [0; \frac{3}{2}]

.
Ta có:

t^{2} = 4^{x} + 4^{- x} - {2.2}^{x} {.2}^{- x} \Rightarrow 4^{x} + 4^{- x} = t^{2} + 2

.
Phương trình trở thành:

4 (t^{2} + 2) = 4 t (m + 1) + 16 - 8 m

\Leftrightarrow m (t - 2) = (t - 2) (t + 1) \Leftrightarrow m = t + 1

(vì

t \in [0; \frac{3}{2}]

).
Để phương trình đã cho có nghiệm trên

[0; 1]

thì phương trình

m = t + 1

phải có nghiệm

t \in [0; \frac{3}{2}]

.
Suy ra

m \in [1; \frac{5}{2}]

.
Chú ý giả thiết các bi cùng màu giống nhau.

Đáp án A.