Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa mãn: ${{\log...

Điều kiện $4x+4y-4>0$
Ta có ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1$
$\Leftrightarrow 4x+4y-4\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{2}_{{}}}\left( {{C}_{1}} \right)$
Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ) $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 2;2 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{2}$
Mặt khác ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m(*)$
Với $m=0\Rightarrow x=-1;y=1$ không thỏa mãn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 2$
Với $m>0$ thì (*) là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -1;1 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{m}$
Để tồn tại duy nhất cặp $\left( x;y \right)$ thì $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc với nhau.
• Trường hợp 1: $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài.
Khi đó ${{R}_{1}}+{{R}_{2}}={{I}_{1}}{{I}_{2}}\sqrt{m}+\sqrt{2}=\sqrt{10}\Leftrightarrow m={{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}$.
• Trường hợp 2: $\left( {{C}_{1}} \right)$ nằm trong $\left( {{C}_{2}} \right)$ và hai đường tròn tiếp xúc trong.
Khi đó ${{R}_{2}}-{{R}_{1}}={{I}_{1}}{{I}_{2}}\Leftrightarrow \sqrt{m}-\sqrt{2}=\sqrt{10}\Leftrightarrow m={{\left( \sqrt{10}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$
Vậy $m={{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}$ và $m={{\left( \sqrt{10}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.