Google
Câu hỏi: Tìm m để phương trình $-\log _{2}^{3}x+m{{\log }_{2}}x+2=0$ có nghiệm duy nhất.
A. $m<3$
B. $m\le 3$
C. $m>0$
D. $m\ge 0$
A. $m<3$
B. $m\le 3$
C. $m>0$
D. $m\ge 0$
Đặt ${{\log }_{2}}x=t$, ta được phương trình $-{{t}^{3}}+mt+2=0, t\in R$.
Để phương trình $-\log _{2}^{3}x+m{{\log }_{2}}x+2=0$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $-{{t}^{3}}+mt+2=0, t\in R$ có nghiệm duy nhất.
Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình $-{{t}^{3}}+mt+2=0$.
Khi đó $-{{t}^{3}}+mt+2=0\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{3}}-2}{t}={{t}^{2}}-\dfrac{2}{t}$.
Số nghiệm pt là số giao điểm của đồ thị $y=f\left( t \right)={{t}^{2}}-\dfrac{2}{t}$ và đường thẳng $y=m$
${f}'\left( t \right)=2t+\dfrac{2}{{{t}^{2}}}=\dfrac{2{{t}^{3}}+2}{{{t}^{2}}}=0\Rightarrow t=-1$
BBT
Dựa vào BBT, ta có $m<3$
Cách khác: Thử điểm cực biên ở mỗi phương án chọn, cụ thể thử với
$m=0; m=3; m=-1$
Để phương trình $-\log _{2}^{3}x+m{{\log }_{2}}x+2=0$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $-{{t}^{3}}+mt+2=0, t\in R$ có nghiệm duy nhất.
Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình $-{{t}^{3}}+mt+2=0$.
Khi đó $-{{t}^{3}}+mt+2=0\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{3}}-2}{t}={{t}^{2}}-\dfrac{2}{t}$.
Số nghiệm pt là số giao điểm của đồ thị $y=f\left( t \right)={{t}^{2}}-\dfrac{2}{t}$ và đường thẳng $y=m$
${f}'\left( t \right)=2t+\dfrac{2}{{{t}^{2}}}=\dfrac{2{{t}^{3}}+2}{{{t}^{2}}}=0\Rightarrow t=-1$
BBT
Dựa vào BBT, ta có $m<3$
Cách khác: Thử điểm cực biên ở mỗi phương án chọn, cụ thể thử với
$m=0; m=3; m=-1$
Đáp án A.