Tìm m để khoảng cách từ điểm $A\left( \dfrac{1}{2};1;4 \right)$...

Phương pháp:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm M xuống một đường thẳng
$d(M;d)=\dfrac{\left| [\overrightarrow{AM};\vec{u}] \right|}{|\overrightarrow{u}|}$ là 1 VTCP của đường thẳng d, A là một điểm bất kì thuộc đường thẳng d.
Cách giải:
Đường thẳng $\left( d \right)$ có VTCP $\text{M(1-2m ;-2+2 m ;1)}$
và đi qua điểm $M\left( 1-2m;-2+2m;1 \right)$
Ta có $\overrightarrow{AM}\left( \dfrac{1}{2}-2m;-3+2m;-3 \right)$
$\Rightarrow [\overrightarrow{AM};\overrightarrow{n}]=\left( -m,-m-\dfrac{1}{2};-2{{m}^{2}}+m+\dfrac{1}{2} \right)$
$d(A;(d))=\dfrac{|[\overrightarrow{AM};\vec{n}]|}{|\overrightarrow{n}|}$
$=\dfrac{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -2{{m}^{2}}+m+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{(1-m)}^{2}}+1}}$
Đến đây việc thay các giá trị của mở mỗi đáp án vào biểu thức khoảng cách trên để tìm GTLN là nhanh nhất (học sinh hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN hoặc có thể sử dụng chức năng MODE 7 trên MTCT).
Thay $m=\dfrac{2}{3}$ ta có: $d\left( A;\left( d \right) \right)\approx 1,1$.
Thay $m=\dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow ~d\left( A;\left( d \right) \right)\simeq 1,67.~$
Thay $m=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow ~d\left( A;\left( d \right) \right)\simeq 0,87.~$
Thay m= 1 $\Rightarrow ~d\left( A;\left( d \right) \right)\simeq 1,32$.
Vậy d(A;(d)) đạt GTLN khi $m=\dfrac{4}{3}$