Tìm m để đường thẳng $y=x-2m$ cắt đồ thị hàm số...

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=x-2m$ và đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}$ là:
$x-2m={\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}$ (với $x\ne -1$ ) $\iff x^2-2m\text{x}+3-2m=0$ (1).
Để đường thẳng $y=x-2m$ cắt đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x-3}{x+1}}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$
$\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & {(-1)}^2-2m.(-1)+3-2m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2+2m-3>0\\ & 4\ne 0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m>1\\ & m<-3\end{array}$.
Vậy $[\begin{array}{rl}& m>1\\ & m<-3\end{array}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.