Tìm $m$ để đường thẳng $y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số...

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{x+3}{x+1}=x+m\ \left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0\left( 2 \right) \\
& x\ne -1 \\
\end{aligned} \right.$
Đường thẳng $y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm $M$, $N$ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& f\left( -1 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m+1 \right)}^{2}}-8\left( m-3 \right)>0 \\
& 2-m-1+m-3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-6m+25>0 \\
& -2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \forall m\in R$
Gọi ${{x}_{1}}$ ; ${{x}_{2}}$ là nghiệm của pt $\left( 2 \right)$ khi đó $M\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m \right)$, $N\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m \right)$
$\Rightarrow MN=\sqrt{5{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-20{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$
Theo Viet ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-m-1}{2} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow MN=\sqrt{5{{\left( \dfrac{-m-1}{2} \right)}^{2}}-20\dfrac{m-3}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{{{m}^{2}}-6m+25}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{{{\left( m-3 \right)}^{2}}+16}\ge 2\sqrt{5}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $m=3$.