Google
Câu hỏi: Tìm m để đường thẳng $y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN nhỏ nhất.
A. $m=3$.
B. $m=-1$.
C. $m=2$.
D. $m=1$.
A. $m=3$.
B. $m=-1$.
C. $m=2$.
D. $m=1$.
Tìm điều kiện của m để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Gọi $M\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m \right)$, $N\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m \right)$ là hai giao điểm của2 đồ thị hàm số.
Khi đó: $MN=\sqrt{{{\left( {{x}_{N}}-{{x}_{M}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{N}}-{{y}_{M}} \right)}^{2}}}$
Sử dụng định lý Vi-ét để tìm giá trị của m để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:
$2x+m=\dfrac{x+3}{x+1}$ $\left( x\ne 1 \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0$ (*)
Ta có: $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-8\left( m-3 \right)={{m}^{2}}-6m+25={{\left( m-3 \right)}^{2}}+16>0\forall m$
$\Rightarrow $ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m \right)$, $N\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m \right)$ là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số. Khi đó ta có:
$M{{N}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}-2{{x}_{1}} \right)}^{2}}=5{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}$
$=5\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=5\left[ \dfrac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{4}-4.\dfrac{m-3}{2} \right]$
$=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}+2m+1-8m+24 \right)=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}-6m+25 \right)$
$=\dfrac{5}{4}{{\left( m-3 \right)}^{2}}+20\ge 20 \forall m$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow m-3=0\Leftrightarrow m=3$.
Gọi $M\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m \right)$, $N\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m \right)$ là hai giao điểm của2 đồ thị hàm số.
Khi đó: $MN=\sqrt{{{\left( {{x}_{N}}-{{x}_{M}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{N}}-{{y}_{M}} \right)}^{2}}}$
Sử dụng định lý Vi-ét để tìm giá trị của m để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:
$2x+m=\dfrac{x+3}{x+1}$ $\left( x\ne 1 \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0$ (*)
Ta có: $\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-8\left( m-3 \right)={{m}^{2}}-6m+25={{\left( m-3 \right)}^{2}}+16>0\forall m$
$\Rightarrow $ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}+m \right)$, $N\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}+m \right)$ là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số. Khi đó ta có:
$M{{N}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{x}_{2}}-2{{x}_{1}} \right)}^{2}}=5{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}$
$=5\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=5\left[ \dfrac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{4}-4.\dfrac{m-3}{2} \right]$
$=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}+2m+1-8m+24 \right)=\dfrac{5}{4}\left( {{m}^{2}}-6m+25 \right)$
$=\dfrac{5}{4}{{\left( m-3 \right)}^{2}}+20\ge 20 \forall m$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow m-3=0\Leftrightarrow m=3$.
Đáp án A.