Tìm m để bất phương trình $x+\dfrac{1}{x-1}\ge m$ có nghiệm trên...

Ta có $x+\dfrac{1}{x-1}\ge m\Leftrightarrow -m\ge -x+\dfrac{1}{1-x}$
Đặt $f\left( x \right)=-x+\dfrac{1}{1-x},x\in \left( -\infty ;1 \right)$. Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -m\ge \underset{\left( -\infty ;1 \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$
Ta có $-x+\dfrac{1}{1-x}=1-x+\dfrac{1}{1-x}-1\ge 2\sqrt{\left( 1-x \right).\dfrac{1}{1-x}}-1=1$. Suy ra $\underset{\left( -\infty ;1 \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=1$
Như vậy $-m\ge 1\Leftrightarrow m\le -1$, đạt được khi
$1-x=\dfrac{1}{1-x}\Leftrightarrow {{\left( 1-x \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow 1-x=1\Leftrightarrow x=0\in \left( -\infty ;1 \right)$
Chú ý: ta cũng có thể xtes hàm số $f\left( x \right)=-x+\dfrac{1}{1-x},x\in \left( -\infty ;1 \right)$. Lập bảng biến thiên và tìm được $\underset{\left( -\infty ;1 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=-1$. Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -\infty ;1 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\Leftrightarrow m\le -1$