Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển ${{\left(...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Tìm hệ số của

x^{6}

trong khai triển

{(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}

với

x \neq 0

, biết n là số nguyên dương thỏa mãn

3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2}

A.

210 x^{6}

B.

120 x^{6}

C. 120
D. 210

Từ phương trình

3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} \Rightarrow n = 3

Với

n = 3

, ta có

{(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1} = {(\frac{1}{x} + x^{3})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(\frac{1}{x})}^{10 - k} . {(x^{3})}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . x^{4 k - 10}

Hệ số của

x^{6}

ứng với

4 k - 10 = 6 \Leftrightarrow k = 4 \Rightarrow

hệ số cần tìm

C_{10}^{4} = 210

.

Đáp án D.

Tìm hệ số của x6 trong khai triển ${{\left(...