Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của ${{x}^{6}}$ trong khai triển ${{\left( \dfrac{1}{x}+{{x}^{3}} \right)}^{3n+1}}$ với $x\ne 0$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn $3C_{n+1}^{2}+n{{P}_{2}}=4A_{n}^{2}$
A. $210{{x}^{6}}$
B. $120{{x}^{6}}$
C. 120
D. 210
A. $210{{x}^{6}}$
B. $120{{x}^{6}}$
C. 120
D. 210
Từ phương trình $3C_{n+1}^{2}+n{{P}_{2}}=4A_{n}^{2}\Rightarrow n=3$
Với $n=3$, ta có ${{\left( \dfrac{1}{x}+{{x}^{3}} \right)}^{3n+1}}={{\left( \dfrac{1}{x}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( \dfrac{1}{x} \right)}^{10-k}}.{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{4k-10}}}}$
Hệ số của ${{x}^{6}}$ ứng với $4k-10=6\Leftrightarrow k=4\Rightarrow $ hệ số cần tìm $C_{10}^{4}=210$.
Với $n=3$, ta có ${{\left( \dfrac{1}{x}+{{x}^{3}} \right)}^{3n+1}}={{\left( \dfrac{1}{x}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( \dfrac{1}{x} \right)}^{10-k}}.{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{4k-10}}}}$
Hệ số của ${{x}^{6}}$ ứng với $4k-10=6\Leftrightarrow k=4\Rightarrow $ hệ số cần tìm $C_{10}^{4}=210$.
Đáp án D.