Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của ${{x}^{10}}$ trong khai triển đa thức $P\left( x \right)={{\left( 3{{x}^{2}}-\dfrac{2}{x} \right)}^{n}}$, trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 2 và thỏa mãn $\dfrac{1}{2}C_{n}^{1}-\dfrac{1}{3}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}C_{n}^{3}-\dfrac{1}{5}C_{n}^{4}+...+\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{n+1}C_{n}^{n}=\dfrac{20}{21}.$
A. $-4034396160.$
B. $1804861440.$
C. $-721944576.$
D. $35389440.$
A. $-4034396160.$
B. $1804861440.$
C. $-721944576.$
D. $35389440.$
Áp dụng công thức Nhị thức Newton, có:
${{\left( 1+x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{1}{C_{n}^{k}{{x}^{k}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+C_{n}^{3}{{x}^{3}}+C_{n}^{4}{{x}^{4}}...+C_{n}^{n}{{x}^{n}}}$
Suy ra: $\int\limits_{-1}^{0}{{{\left( 1+x \right)}^{n}}.dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+C_{n}^{3}{{x}^{3}}+C_{n}^{4}{{x}^{4}}...+C_{n}^{n}{{x}^{n}} \right).dx}$
$\Leftrightarrow \left. \dfrac{1}{n+1}{{\left( 1+x \right)}^{n+1}} \right|_{-1}^{0}=\left. \left( xC_{n}^{1}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}C_{n}^{1}+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}C_{n}^{3}+\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}C_{n}^{4}+...+\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{n+1}{{x}^{n+1}}C_{n}^{n} \right) \right|_{-1}^{0}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+n}=1-\dfrac{1}{2}C_{n}^{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{2}-\dfrac{1}{4}C_{n}^{3}+\dfrac{1}{5}C_{n}^{4}+...+\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{n+1}C_{n}^{n}\Leftrightarrow \dfrac{20}{21}=1-\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow n=20.$
Lại có: $P\left( x \right)={{\left( 3{{x}^{2}}-\dfrac{2}{x} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{k}}.{{\left( -\dfrac{2}{x} \right)}^{n-k}}=}\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{n-k}}{{.3}^{k}}.{{x}^{3k-n}}.}$
Do đó, hệ số ${{x}^{10}}$ của trong khai triển đa thức $P\left( x \right)$ phải ứng với $3k-n=10\Rightarrow k=3.$
Vậy hệ số của ${{x}^{10}}$ cần tìm trong khai triển đa thức $P\left( x \right)$ là:
$C_{20}^{3}{{\left( -2 \right)}^{17}}{{.3}^{3}}=-4034396160.$
${{\left( 1+x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{1}{C_{n}^{k}{{x}^{k}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+C_{n}^{3}{{x}^{3}}+C_{n}^{4}{{x}^{4}}...+C_{n}^{n}{{x}^{n}}}$
Suy ra: $\int\limits_{-1}^{0}{{{\left( 1+x \right)}^{n}}.dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+C_{n}^{3}{{x}^{3}}+C_{n}^{4}{{x}^{4}}...+C_{n}^{n}{{x}^{n}} \right).dx}$
$\Leftrightarrow \left. \dfrac{1}{n+1}{{\left( 1+x \right)}^{n+1}} \right|_{-1}^{0}=\left. \left( xC_{n}^{1}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}C_{n}^{1}+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}C_{n}^{3}+\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}C_{n}^{4}+...+\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{n+1}{{x}^{n+1}}C_{n}^{n} \right) \right|_{-1}^{0}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+n}=1-\dfrac{1}{2}C_{n}^{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{2}-\dfrac{1}{4}C_{n}^{3}+\dfrac{1}{5}C_{n}^{4}+...+\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{n+1}C_{n}^{n}\Leftrightarrow \dfrac{20}{21}=1-\dfrac{1}{n+1}\Rightarrow n=20.$
Lại có: $P\left( x \right)={{\left( 3{{x}^{2}}-\dfrac{2}{x} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{k}}.{{\left( -\dfrac{2}{x} \right)}^{n-k}}=}\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{n-k}}{{.3}^{k}}.{{x}^{3k-n}}.}$
Do đó, hệ số ${{x}^{10}}$ của trong khai triển đa thức $P\left( x \right)$ phải ứng với $3k-n=10\Rightarrow k=3.$
Vậy hệ số của ${{x}^{10}}$ cần tìm trong khai triển đa thức $P\left( x \right)$ là:
$C_{20}^{3}{{\left( -2 \right)}^{17}}{{.3}^{3}}=-4034396160.$
Đáp án A.