Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển Nhị thức Niu tơn của ${{\left( \dfrac{n}{2x}+\dfrac{x}{2} \right)}^{2n}}\left( x\ne 0 \right),$ biết số nguyên dương n thỏa mãn $C_{n}^{3}+A_{n}^{2}=50.$
A. $\dfrac{297}{512}.$
B. $\dfrac{29}{51}.$
C. $\dfrac{97}{12}.$
D. $\dfrac{279}{215}.$
A. $\dfrac{297}{512}.$
B. $\dfrac{29}{51}.$
C. $\dfrac{97}{12}.$
D. $\dfrac{279}{215}.$
Điều kiện $n\in \mathbb{N},n\ge 3.$
Ta có: $C_{n}^{3}+A_{n}^{2}=50\Leftrightarrow \dfrac{n!}{3!.\left( n-3 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}=50\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+n\left( n-1 \right)=50$
$\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)\left( n+4 \right)=300\Leftrightarrow {{n}^{3}}+3{{n}^{2}}-4n-300=0\Leftrightarrow n=6.$
Xét khai triển ${{\left( \dfrac{6}{2x}+\dfrac{x}{2} \right)}^{12}}={{\left( \dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{2} \right)}^{12}}=\sum\limits_{0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( \dfrac{3}{x} \right)}^{k}}{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{12-k}}}$
$=\sum\limits_{0}^{12}{C_{12}^{k}{{3}^{k}}{{.2}^{k-12}}{{x}^{-k}}.{{x}^{12-k}}}=\sum\limits_{0}^{12}{C_{12}^{k}{{3}^{k}}{{.2}^{k-12}}{{x}^{12-2k}}}$
Cho $12-2k=8\Rightarrow k=2\Rightarrow $ hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển là $C_{12}^{2}{{3}^{2}}{{.2}^{-10}}=\dfrac{297}{512}.$
Ta có: $C_{n}^{3}+A_{n}^{2}=50\Leftrightarrow \dfrac{n!}{3!.\left( n-3 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}=50\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+n\left( n-1 \right)=50$
$\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)\left( n+4 \right)=300\Leftrightarrow {{n}^{3}}+3{{n}^{2}}-4n-300=0\Leftrightarrow n=6.$
Xét khai triển ${{\left( \dfrac{6}{2x}+\dfrac{x}{2} \right)}^{12}}={{\left( \dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{2} \right)}^{12}}=\sum\limits_{0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( \dfrac{3}{x} \right)}^{k}}{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{12-k}}}$
$=\sum\limits_{0}^{12}{C_{12}^{k}{{3}^{k}}{{.2}^{k-12}}{{x}^{-k}}.{{x}^{12-k}}}=\sum\limits_{0}^{12}{C_{12}^{k}{{3}^{k}}{{.2}^{k-12}}{{x}^{12-2k}}}$
Cho $12-2k=8\Rightarrow k=2\Rightarrow $ hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển là $C_{12}^{2}{{3}^{2}}{{.2}^{-10}}=\dfrac{297}{512}.$
Đáp án A.