Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ trong khai triển ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}.$
A. 1902.
B. 7752.
C. 582.
D. 252.
A. 1902.
B. 7752.
C. 582.
D. 252.
Ta có ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}={{\left( 1+x \right)}^{10}}.{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{10}}$
Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^{k}{{x}^{k}}.C_{10}^{p}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{p}}=C_{10}^{k}C_{10}^{p}{{x}^{k+2p}}\left( 0\le k,p\le 10 \right).$
Xét $k+2p=5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=5;p=0 \\
& k=3;p=1 \\
& k=1;p=2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ là $C_{10}^{5}.C_{10}^{0}+C_{10}^{3}.C_{10}^{1}+C_{10}^{1}.C_{10}^{2}=1902.$
Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^{k}{{x}^{k}}.C_{10}^{p}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{p}}=C_{10}^{k}C_{10}^{p}{{x}^{k+2p}}\left( 0\le k,p\le 10 \right).$
Xét $k+2p=5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=5;p=0 \\
& k=3;p=1 \\
& k=1;p=2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ là $C_{10}^{5}.C_{10}^{0}+C_{10}^{3}.C_{10}^{1}+C_{10}^{1}.C_{10}^{2}=1902.$
Đáp án A.