Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ trong khai triển ${{\left(...

Ta có ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}={{\left[ \left( 1+x \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right) \right]}^{10}}={{\left( 1+x \right)}^{10}}{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{k}}}.\sum\limits_{0}^{10}{C_{10}^{i}{{x}^{2i}}}$
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ trong khai triển thỏa mãn $k+2i=5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=1;i=2 \\
& k=3;i=1 \\
& k=5;i=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ trong khai triển là: $C_{10}^{1}.C_{10}^{2}+C_{10}^{3}.C_{10}^{1}+C_{10}^{5}.C_{10}^{0}=1902$.