Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển $f\left(...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Tìm hệ số của số hạng chứa

x^{10}

trong khai triển

f (x) = {(\frac{1}{4} x^{2} + x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{3 n}

với

n

là số tự nhiên thỏa mãn

A_{n}^{3} + C_{n}^{n - 2} = 14 n

.
A.

2^{5} C_{19}^{10}

.
B.

2^{3} C_{19}^{9}

.
C.

2^{7} C_{19}^{9}

.
D.

2^{9} C_{19}^{10}

.

Điều kiện

n \in N; n \geq 3

Ta có

A_{n}^{3} + C_{n}^{n - 2} = 14 n \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)!} + \frac{n!}{(n - 2)! .2!} = 14 n

\Leftrightarrow (n - 2) (n - 1) n + \frac{(n - 1) n}{2} = 14 n

\Leftrightarrow 2 (n - 2) (n - 1) + n - 1 = 28

\Leftrightarrow 2 n^{2} - 5 n - 25 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} n = 5 (n) \\ n = - \frac{5}{2} (l) \end{matrix}

Do đó

f (x) = {(\frac{1}{4} x^{2} + x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{15} = \frac{1}{16} {(x + 2)}^{19}

Số hạng thứ

k + 1

trong khai triển

\frac{1}{16} {(x + 2)}^{19}

là

T_{k + 1} = \frac{1}{16} C_{19}^{k} x^{19 - k} 2^{k} (k \in Z, 0 \leq k \leq 19)

Để tìm hệ số của số hạng chứa

x^{10}

thì

19 - k = 10 \Leftrightarrow k = 9

(thoả mãn)
Vậy hệ số của số hạng chứa

x^{10}

là

\frac{1}{16} C_{19}^{10} 2^{9} = 2^{5} C_{19}^{10}

Đáp án A.

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển $f\left(...