Google
Câu hỏi: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{3n}}$ với $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $A_{n}^{3}+C_{n}^{n-2}=14n$.
A. ${{2}^{5}}C_{19}^{10}$.
B. ${{2}^{3}}C_{19}^{9}$.
C. ${{2}^{7}}C_{19}^{9}$.
D. ${{2}^{9}}C_{19}^{10}$.
A. ${{2}^{5}}C_{19}^{10}$.
B. ${{2}^{3}}C_{19}^{9}$.
C. ${{2}^{7}}C_{19}^{9}$.
D. ${{2}^{9}}C_{19}^{10}$.
Điều kiện $n\in N;n\ge 3$
Ta có $A_{n}^{3}+C_{n}^{n-2}=14n\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-3 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=14n$ $\Leftrightarrow \left( n-2 \right)\left( n-1 \right)n+\dfrac{\left( n-1 \right)n}{2}=14n$
$\Leftrightarrow 2\left( n-2 \right)\left( n-1 \right)+n-1=28$ $\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}-5n-25=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
n=5 \left( n \right) \\
n=-\dfrac{5}{2} \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{15}}=\dfrac{1}{16}{{\left( x+2 \right)}^{19}}$
Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển $\dfrac{1}{16}{{\left( x+2 \right)}^{19}}$ là ${{T}_{k+1}}=\dfrac{1}{16}C_{19}^{k}{{x}^{19-k}}{{2}^{k}} \left( k\in \mathbb{Z},0\le k\le 19 \right)$
Để tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ thì $19-k=10\Leftrightarrow k=9$ (thoả mãn)
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ là $\dfrac{1}{16}C_{19}^{10}{{2}^{9}}={{2}^{5}}C_{19}^{10}$
Ta có $A_{n}^{3}+C_{n}^{n-2}=14n\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-3 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=14n$ $\Leftrightarrow \left( n-2 \right)\left( n-1 \right)n+\dfrac{\left( n-1 \right)n}{2}=14n$
$\Leftrightarrow 2\left( n-2 \right)\left( n-1 \right)+n-1=28$ $\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}-5n-25=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
n=5 \left( n \right) \\
n=-\dfrac{5}{2} \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{15}}=\dfrac{1}{16}{{\left( x+2 \right)}^{19}}$
Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển $\dfrac{1}{16}{{\left( x+2 \right)}^{19}}$ là ${{T}_{k+1}}=\dfrac{1}{16}C_{19}^{k}{{x}^{19-k}}{{2}^{k}} \left( k\in \mathbb{Z},0\le k\le 19 \right)$
Để tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ thì $19-k=10\Leftrightarrow k=9$ (thoả mãn)
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ là $\dfrac{1}{16}C_{19}^{10}{{2}^{9}}={{2}^{5}}C_{19}^{10}$
Đáp án A.