Google
Câu hỏi: Tìm hệ số chứa ${{{x}^{3}}}$ trong khai triển ${{{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}}$
A. 1902.
B. 252.
C. 7752.
D. 249.
A. 1902.
B. 252.
C. 7752.
D. 249.
Ta có: ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}={{\left( 1+x \right)}^{10}}{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{10}}$
Lại có: ${{\left( 1+x \right)}^{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{2}}{{x}^{2}}...+{{a}_{10}}{{x}^{10}}$
Và: ${{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{10}}={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}{{x}^{4}}...+{{a}_{10}}{{x}^{20}}$
Từ đây ta suy ra hệ số của x5 trong khai triển ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}$ là:
${{a}_{1}}.{{b}_{2}}+{{a}_{3}}.{{b}_{1}}+{{a}_{5}}.{{b}_{0}}=C_{10}^{1}.C_{10}^{2}.C_{10}^{3}.C_{10}^{1}+C_{10}^{5}.C_{10}^{0}=1902$
Lại có: ${{\left( 1+x \right)}^{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{2}}{{x}^{2}}...+{{a}_{10}}{{x}^{10}}$
Và: ${{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{10}}={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}{{x}^{4}}...+{{a}_{10}}{{x}^{20}}$
Từ đây ta suy ra hệ số của x5 trong khai triển ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}$ là:
${{a}_{1}}.{{b}_{2}}+{{a}_{3}}.{{b}_{1}}+{{a}_{5}}.{{b}_{0}}=C_{10}^{1}.C_{10}^{2}.C_{10}^{3}.C_{10}^{1}+C_{10}^{5}.C_{10}^{0}=1902$
Đáp án A.