Google
Câu hỏi: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ cắt đường thẳng $d:y=m\left(x-1 \right)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{2}^{2}>5$.
A. $m\ge -3$.
B. $m\ge -2$
C. $m>-3$.
D. $m>-2$.
A. $m\ge -3$.
B. $m\ge -2$
C. $m>-3$.
D. $m>-2$.
Phương trình hoành độ giao điểm:
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=m\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+m+2=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-m-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-\left( m+2 \right)=0 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& g\left( 1 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{1}^{2}}+\left( m+2 \right)>0 \\
& 1-2-m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-3 \\
& m\ne -3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>-3$.
Gọi ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$ là hai nghiệm phương trình $\left( * \right)$.
Theo định lý Viét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}+{{x}_{3}}=2 \\
& {{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-\left( m+2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>5\Leftrightarrow 1+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>5\Leftrightarrow x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>4$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)}^{2}}-2{{x}_{2}}{{x}_{3}}>4$ $\Leftrightarrow 4+2\left( m+2 \right)>4\Leftrightarrow m>-2$.
So sánh với điều kiện ở trên suy ra $m>-2$.
Kết luận: $m>-2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=m\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+m+2=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-m-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-\left( m+2 \right)=0 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& g\left( 1 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{1}^{2}}+\left( m+2 \right)>0 \\
& 1-2-m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-3 \\
& m\ne -3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>-3$.
Gọi ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$ là hai nghiệm phương trình $\left( * \right)$.
Theo định lý Viét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}+{{x}_{3}}=2 \\
& {{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-\left( m+2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>5\Leftrightarrow 1+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>5\Leftrightarrow x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>4$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)}^{2}}-2{{x}_{2}}{{x}_{3}}>4$ $\Leftrightarrow 4+2\left( m+2 \right)>4\Leftrightarrow m>-2$.
So sánh với điều kiện ở trên suy ra $m>-2$.
Kết luận: $m>-2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.