Google
Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để bất phương trình
$\dfrac{{{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}\le \dfrac{m}{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}}$ có nghiệm
A. $m=1$
B. $m=8$
C. $m=4$
D. $m=13$
$\dfrac{{{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}\le \dfrac{m}{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}}$ có nghiệm
A. $m=1$
B. $m=8$
C. $m=4$
D. $m=13$
Điều kiện $x\ge 1 (*)$
$\dfrac{{{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}\le \dfrac{m}{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)\le \dfrac{m}{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{3}}\le m (1)$
Xét hàm $g\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{3}}$ với $x\ge 1$
${g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+\dfrac{3x}{\sqrt{3{{x}^{2}}+1}} \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}\left( \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)>0;\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)\ge g\left( 1 \right)=4;\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
Do đó $(1) \Leftrightarrow m\ge g\left( x \right)$ có nghiệm trong $\left[ 1;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge 4$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ để phương trình có nghiệm là 4
$\dfrac{{{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}\le \dfrac{m}{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right)\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)\le \dfrac{m}{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{3}}\le m (1)$
Xét hàm $g\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{3}}$ với $x\ge 1$
${g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+\dfrac{3x}{\sqrt{3{{x}^{2}}+1}} \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{3}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+1}+1 \right){{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)}^{2}}\left( \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)>0;\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)\ge g\left( 1 \right)=4;\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$
Do đó $(1) \Leftrightarrow m\ge g\left( x \right)$ có nghiệm trong $\left[ 1;+\infty \right)\Leftrightarrow m\ge 4$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ để phương trình có nghiệm là 4
Đáp án C.