Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x^{2} - 4 x + \frac{54}{x - 2}

trên khoảng

(2; + \infty)

.
A.

min_{(2; + \infty)} y = 0

B.

min_{(2; + \infty)} y = - 13

C.

min_{(2; + \infty)} y = 23

D.

min_{(2; + \infty)} y = - 21

Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên

y^{'} = 2 x - 4 - \frac{54}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2 [{(x - 2)}^{3} - 27]}{{(x - 2)}^{2}}; {y}' = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 3 \Leftrightarrow x = 5

.
Lập bảng biến thiên ta tìm được

min_{(2; + \infty)} y = y (5) = 23

.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương

{(x - 2)}^{2}; \frac{27}{x - 2}; \frac{27}{x - 2}

.
Ta có

y = x^{2} - 4 x + \frac{54}{x - 2} = [{(x - 2)}^{2} + \frac{27}{x - 2} + \frac{27}{x - 2}] - 4 \geq 3 \sqrt[3]{27^{2}} - 4 \Rightarrow y \geq 23

.
Đẳn thức xảy ra khi

{(x - 2)}^{2} = \frac{27}{x - 2} \Rightarrow x = 5

.
Vậy

min_{(2; + \infty)} y = y (5) = 23

.

Đáp án C.