Google
Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}-4\text{x}+\dfrac{54}{x-2}$ trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$.
A. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=0$
B. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=-13$
C. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=23$
D. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=-21$
A. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=0$
B. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=-13$
C. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=23$
D. $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=-21$
Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên
${y}'=2\text{x}-4-\dfrac{54}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{2\left[ {{\left( x-2 \right)}^{3}}-27 \right]}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}};\text{ {y}'}=0\Leftrightarrow x-2=3\Leftrightarrow x=5$.
Lập bảng biến thiên ta tìm được $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=y\left( 5 \right)=23$.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ${{\left( x-2 \right)}^{2}};\dfrac{27}{x-2};\dfrac{27}{x-2}$.
Ta có $y={{x}^{2}}-4\text{x}+\dfrac{54}{x-2}=\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+\dfrac{27}{x-2}+\dfrac{27}{x-2} \right]-4\ge 3\sqrt[3]{{{27}^{2}}}-4\Rightarrow y\ge 23$.
Đẳn thức xảy ra khi ${{\left( x-2 \right)}^{2}}=\dfrac{27}{x-2}\Rightarrow x=5$.
Vậy $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=y\left( 5 \right)=23$.
${y}'=2\text{x}-4-\dfrac{54}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{2\left[ {{\left( x-2 \right)}^{3}}-27 \right]}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}};\text{ {y}'}=0\Leftrightarrow x-2=3\Leftrightarrow x=5$.
Lập bảng biến thiên ta tìm được $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=y\left( 5 \right)=23$.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ${{\left( x-2 \right)}^{2}};\dfrac{27}{x-2};\dfrac{27}{x-2}$.
Ta có $y={{x}^{2}}-4\text{x}+\dfrac{54}{x-2}=\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+\dfrac{27}{x-2}+\dfrac{27}{x-2} \right]-4\ge 3\sqrt[3]{{{27}^{2}}}-4\Rightarrow y\ge 23$.
Đẳn thức xảy ra khi ${{\left( x-2 \right)}^{2}}=\dfrac{27}{x-2}\Rightarrow x=5$.
Vậy $\underset{\left( 2;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=y\left( 5 \right)=23$.
Đáp án C.