Google
Câu hỏi: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+3x+6}{x+1}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
A. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=5.$
B. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=6.$
C. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=-3.$
D. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=4.$
A. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=5.$
B. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=6.$
C. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=-3.$
D. $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=4.$
Hàm số đã cho đã xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có $y=\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)+4}{x+1}=x+2+\dfrac{4}{x+1}$.
Với $x\in \left( 0;+\infty \right)$, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
$x+2+\dfrac{4}{x+1}=x+1+\dfrac{4}{x+1}+1\ge 2\sqrt{\left( x+1 \right).\dfrac{4}{x+1}}+1=5$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x+1=\dfrac{4}{x+1} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=5$.
Ta có $y=\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)+4}{x+1}=x+2+\dfrac{4}{x+1}$.
Với $x\in \left( 0;+\infty \right)$, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
$x+2+\dfrac{4}{x+1}=x+1+\dfrac{4}{x+1}+1\ge 2\sqrt{\left( x+1 \right).\dfrac{4}{x+1}}+1=5$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x+1=\dfrac{4}{x+1} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} y=5$.
Đáp án A.