Tìm giá trị nhỏ nhất của ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ để hàm số...

Xét phương trình ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+ax+1=0\text{ }(1)$
Ta thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình $f(x)=0$
Chia cả 2 vế (1) cho ${{x}^{2}}$ ta được
${{x}^{2}}+ax+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)+a\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+b=0\text{ }$
Đặt $x+\dfrac{1}{x}=t;\text{ }\left| t \right|\ge 2$ ta được
${{t}^{2}}-2+at+b=0\Leftrightarrow \text{ -}{{t}^{2}}+2=at+b\text{ (2)}$
Từ đề bài suy ra phương trình $(2)$ có nghiệm thỏa mãn $\left| t \right|\ge 2$
Áp dụng BĐT Bunhia ta có ${{\left( at+b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{t}^{2}}+{{1}^{2}} \right)$
$\Rightarrow {{\left( -{{t}^{2}}+2 \right)}^{2}}={{\left( at+b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{t}^{2}}+{{1}^{2}} \right)$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( -{{t}^{2}}+2 \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}=f(t)$
Ta có
$\begin{aligned}
& f'(t)=\dfrac{-4t\left( -{{t}^{2}}+2 \right)\left( {{t}^{2}}+1 \right)-2t{{\left( -{{t}^{2}}+2 \right)}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\
& =\dfrac{\left( -{{t}^{2}}+2 \right)\left[ -4t\left( {{t}^{2}}+1 \right)-2t\left( -{{t}^{2}}+2 \right) \right]}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\
& =\dfrac{t\left( -{{t}^{2}}+2 \right)\left( -2{{t}^{2}}-8 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& f'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\pm \sqrt{2} \\
& t=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \\
\end{aligned}$
BBT
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \dfrac{4}{5}\text{ }\Rightarrow \min \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=\dfrac{4}{5}$