Google
Câu hỏi: Tìm giá trị nguyên thuộc đoạn $[-2022;2022]$ của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}$ có đúng hai tiệm tiệm cận.
A. $2011$.
B. $2012$.
C. $2013$.
D. $2010$.
A. $2011$.
B. $2012$.
C. $2013$.
D. $2010$.
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}=0$ suy ra đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang với mọi $m$.
Để đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}$ có đúng hai tiệm cận thì phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0\left( * \right)$ có nghiệm kép $x\ge 3$ hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó ${{x}_{1}}\ge 3$ và ${{x}_{2}}<3$.
Phương trình $\left( * \right)$ tương đương với $m=f\left( x \right)={{x}^{2}}+x$, với $x\ge 3$.
Có ${f}'\left( x \right)=2x+1\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0\forall x\ge 3$. Suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với $m\ge f\left( 3 \right)=12$.
Suy ra $12\le m\le 2022$.
Vậy số giá trị $m$ thỏa mãn là 2011.
Để đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}$ có đúng hai tiệm cận thì phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0\left( * \right)$ có nghiệm kép $x\ge 3$ hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó ${{x}_{1}}\ge 3$ và ${{x}_{2}}<3$.
Phương trình $\left( * \right)$ tương đương với $m=f\left( x \right)={{x}^{2}}+x$, với $x\ge 3$.
Có ${f}'\left( x \right)=2x+1\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0\forall x\ge 3$. Suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với $m\ge f\left( 3 \right)=12$.
Suy ra $12\le m\le 2022$.
Vậy số giá trị $m$ thỏa mãn là 2011.
Đáp án A.