Google
Câu hỏi: Tìm giá trị $m$ nguyên dương để bất phương trình sau có đúng 5 nghiệm nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{3}^{x+1}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-m \right)<0?$
A. $2187$.
B. $81$.
C. $243$.
D. $729$.
A. $2187$.
B. $81$.
C. $243$.
D. $729$.
Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình đã cho trở thành $\left( 3t-\sqrt{3} \right)\left( t-m \right)<0$ hay $\left( t-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)\left( t-m \right)<0(*).$
Vì $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, do đó $(*)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<t<m\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<{{3}^{x}}<m\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<x<{{\log }_{3}}m.$
Để bất phương trình $\left( {{3}^{x+1}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-m \right)<0$ có đúng $5$ nghiệm nguyên thì $x=\left\{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \right\}$. Suy ra ${{\log }_{3}}m=6$.
Vậy $m={{3}^{6}}=729$.
Vì $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, do đó $(*)\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<t<m\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<{{3}^{x}}<m\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<x<{{\log }_{3}}m.$
Để bất phương trình $\left( {{3}^{x+1}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-m \right)<0$ có đúng $5$ nghiệm nguyên thì $x=\left\{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 \right\}$. Suy ra ${{\log }_{3}}m=6$.
Vậy $m={{3}^{6}}=729$.
Đáp án D.