Tìm giá trị $m$ nguyên dương để bất phương trình sau có đúng...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Tìm giá trị

m

nguyên dương để bất phương trình sau có đúng 5 nghiệm nguyên

x

thỏa mãn

(3^{x + 1} - \sqrt{3}) (3^{x} - m) < 0 ?

A.

2187

.
B.

81

.
C.

243

.
D.

729

.

Đặt

t = 3^{x} > 0

thì bất phương trình đã cho trở thành

(3 t - \sqrt{3}) (t - m) < 0

hay

(t - \frac{\sqrt{3}}{3}) (t - m) < 0 (*) .

Vì

m \in Z^{+}

nên

m > \frac{\sqrt{3}}{3}

, do đó

(*) \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} < t < m \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} < 3^{x} < m \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < \log_{3} m .

Để bất phương trình

(3^{x + 1} - \sqrt{3}) (3^{x} - m) < 0

có đúng

5

nghiệm nguyên thì

x = {1; 2; 3; 4; 5}

. Suy ra

\log_{3} m = 6

.
Vậy

m = 3^{6} = 729

.

Đáp án D.

Tìm giá trị m nguyên dương để bất phương trình sau có đúng...