Tìm điểm $M$ thuộc $(C) : y = x^{3} + 3 x^{2} - 1$ sao...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Tìm điểm

M

thuộc

(C) : y = x^{3} + 3 x^{2} - 1

sao cho qua

M

kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với

(C)

.
A.

(1; 3)

.
B.

(0; - 1)

.
C.

(- 1; 2)

.
D.

(- 1; 1)

.

Gọi

M (a; a^{3} + 3 a^{2} - 1) \in (C)

. PTTT của

(C)

là:

y = (3 x_{0}^{2} + 6 x_{0}) (x - x_{0}) + x_{o}^{3} + 3 x_{0}^{2} - 1 (d)

Cho

M \in (d) \Rightarrow a^{3} + 3 a^{2} - 1 = (3 x_{0}^{2} + 6 x_{0}) (a - x_{0}) + x_{0}^{3} + 3 x_{0}^{2} - 1

\Leftrightarrow (a - x_{0}) (a^{2} + a x_{0} + x_{0}^{2} + 3 a + 3 x_{0} - 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0}) = 0 \Leftrightarrow (a - x_{0}) (a^{2} + a x_{0} - 2 x_{0}^{2} + 3 a - 3 x_{0}) = 0

\Leftrightarrow {(a - x_{0})}^{2} (a + 2 x_{0} + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} a = x_{0} \\ a = - 2 x_{0} - 3 \end{aligned} (*)

Để từ

M

kẻ được 1 tiếp tuyến thì

(*)

có nghiệm duy nhất

\Leftrightarrow x_{0} = - 2 x_{0} - 3 \Leftrightarrow a = x_{0} = - 1 \Rightarrow M (- 1; 1)

.

Ghi nhớ: Đối với hàm số bậc 3 tại điểm uốn chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến.

Đáp án D.

Tìm điểm M thuộc (C):y=x3+3x2−1 sao...