Google
Câu hỏi: Tìm điểm $M$ thuộc $\left( C \right):y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ sao cho qua $M$ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với $\left( C \right)$.
A. $\left( 1;3 \right)$.
B. $\left( 0;-1 \right)$.
C. $\left( -1;2 \right)$.
D. $\left( -1;1 \right)$.
A. $\left( 1;3 \right)$.
B. $\left( 0;-1 \right)$.
C. $\left( -1;2 \right)$.
D. $\left( -1;1 \right)$.
Gọi $M\left( a;{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}-1 \right)\in \left( C \right)$. PTTT của $\left( C \right)$ là:
$y=\left( 3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{o}^{3}+3x_{0}^{2}-1\left( d \right)$
Cho $M\in \left( d \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+3{{a}^{2}}-1=\left( 3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}} \right)\left( a-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}-1$
$\Leftrightarrow \left( a-{{x}_{0}} \right)\left( {{a}^{2}}+a{{x}_{0}}+x_{0}^{2}+3a+3{{x}_{0}}-3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow \left( a-{{x}_{0}} \right)\left( {{a}^{2}}+a{{x}_{0}}-2x_{0}^{2}+3a-3{{x}_{0}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( a-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( a+2{{x}_{0}}+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a={{x}_{0}} \\
& a=-2{{x}_{0}}-3 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Để từ $M$ kẻ được 1 tiếp tuyến thì $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-2{{x}_{0}}-3\Leftrightarrow a={{x}_{0}}=-1\Rightarrow M\left( -1;1 \right)$.
Ghi nhớ: Đối với hàm số bậc 3 tại điểm uốn chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến.
$y=\left( 3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{o}^{3}+3x_{0}^{2}-1\left( d \right)$
Cho $M\in \left( d \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+3{{a}^{2}}-1=\left( 3x_{0}^{2}+6{{x}_{0}} \right)\left( a-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}-1$
$\Leftrightarrow \left( a-{{x}_{0}} \right)\left( {{a}^{2}}+a{{x}_{0}}+x_{0}^{2}+3a+3{{x}_{0}}-3x_{0}^{2}-6{{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow \left( a-{{x}_{0}} \right)\left( {{a}^{2}}+a{{x}_{0}}-2x_{0}^{2}+3a-3{{x}_{0}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( a-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\left( a+2{{x}_{0}}+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a={{x}_{0}} \\
& a=-2{{x}_{0}}-3 \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Để từ $M$ kẻ được 1 tiếp tuyến thì $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-2{{x}_{0}}-3\Leftrightarrow a={{x}_{0}}=-1\Rightarrow M\left( -1;1 \right)$.
Ghi nhớ: Đối với hàm số bậc 3 tại điểm uốn chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến.
Đáp án D.