Tìm $\cos \varphi _{d}$

hoankuty

hoankuty

Ngố Design
Bài toán
Mạch điện xoay chiều $AB$ gồm $2$ đoạn $AN$ và $NB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AN$ chứa điện trở $R=50\Omega $ và Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm $L$. Đoạn $NB$ chưa tụ điện với điện dung $C$ có thể thay đổi được. Biết rằng khi $U_{AN}+2U_{NB}$ đạt cực tiểu thì hệ số công suất là $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Tìm $\cos \varphi _{d}$ ?
 
Sort by date Sort by votes
Lời giải

$\cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow R=Z_C-Z_L$ (1) vì C biến thiên lên chọn $Z_C$ ở trước.
I không đổi ta chuyển vế $Z$
$\Leftrightarrow Z_{AN}+Z_{NB}\geq 2\sqrt{Z_{AN}.Z_{NB}}$
$\Rightarrow \left(Z_{AN}-2Z_{NB}\right)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{R^2+Z_L^2}=2\sqrt{Z_C^2}$ (2)
Từ 1 và 2 suy ra.
$\begin{cases}R^2+Z_L^2=4Z_C^2 & \\ R=Z_C-Z_L& \ \end{cases}$
$\Rightarrow -3Z_C^2+2Z_L^2-2Z_C.Z_L=0$
$\Rightarrow \dfrac{Z_C}{Z_L}=0,54$
$\cos \varphi _d=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}$
$\rightarrow \cos \varphi _d\approx 0,41$

Ps: Sinh ra để làm gì...
 
Lần chỉnh sửa cuối bởi 1 quản trị viên:
Upvote 0 Downvote
ĐỗĐạiHọc2015 đã viết:
Lời giải

$\cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow R=Z_C-Z_L$ (1) vì C biến thiên lên chọn $Z_C$ ở trước.
I không đổi ta chuyển vế $Z$
$\Leftrightarrow Z_{AN}+Z_{NB}\geq 2\sqrt{Z_{AN}.Z_{NB}}$
$\Rightarrow \left(Z_{AN}-2Z_{NB}\right)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{R^2+Z_L^2}=2\sqrt{Z_C^2}$ (2)
Từ 1 và 2 suy ra.
$\begin{cases}R^2+Z_L^2=4Z_C^2 & \\ R=Z_C-Z_L& \ \end{cases}$
$\Rightarrow -3Z_C^2+2Z_L^2-2Z_C.Z_L=0$
$\Rightarrow \dfrac{Z_C}{Z_L}=0,54$
$\cos \varphi _d=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}$
$\rightarrow \cos \varphi _d\approx 0,41$

Ps: Sinh ra để làm gì...
Click để xem thêm...
Lời giải có nhiều vấn đề quá anh ạ!
+ Thứ nhất không thể chuyển về bài toán tìm min của tổng $U$ thành tìm min của tổng $Z$ được
+ Thứ hai chỗ màu xanh anh đánh giá bất đẳng thức kiểu "hiển nhiên" quá $\left(a-b\right)^2 \geq 0$ thì không thể suy ra $a=b$
+ Thứ 3 cuộn dây đề bài chi là thuần cảm nên có khi nào anh lại thêm $R$
 
Upvote 0 Downvote
hoankuty đã viết:
Bài toán
Mạch điện xoay chiều $AB$ gồm $2$ đoạn $AN$ và $NB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AN$ chứa điện trở $R=50\Omega $ và Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm $L$. Đoạn $NB$ chưa tụ điện với điện dung $C$ có thể thay đổi được. Biết rằng khi $U_{AN}+2U_{NB}$ đạt cực tiểu thì hệ số công suất là $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Tìm $\cos \varphi _{d}$ ?
Click để xem thêm...
Lời giải
Ta có:
$$U_{AN}+2U_{MB}=\dfrac{\sqrt{R^2+Z_L^2}+2Z_C}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}U.$$
$$\Rightarrow \left(U_{AN}+2U_{MB}\right) min \Leftrightarrow f\left(Z_C\right)=\dfrac{\sqrt{R^2+Z_L^2}+2Z_C}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}} min$$
$$\Leftrightarrow f'\left(Z_C\right)=0 \Leftrightarrow Z_C=\dfrac{2R^2}{2Z_L+\sqrt{R^2+Z_L^2}}+Z_L.$$
Kết hợp với $Z_C-Z_L=R$ ta có $2R-2Z_L=\sqrt{R^2+Z_L^2}$
$$\Rightarrow R=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}Z_L \Rightarrow Z_C=\dfrac{7+\sqrt{7}}{3}Z_L.$$
$$\Rightarrow \cos \varphi_d =\dfrac{\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{\left(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\right)^2+1}}\approx 0,9114.$$
 
Upvote 0 Downvote
hoankuty đã viết:
Bài toán
Mạch điện xoay chiều $AB$ gồm $2$ đoạn $AN$ và $NB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AN$ chứa điện trở $R=50\Omega $ và Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm $L$. Đoạn $NB$ chưa tụ điện với điện dung $C$ có thể thay đổi được. Biết rằng khi $U_{AN}+2U_{NB}$ đạt cực tiểu thì hệ số công suất là $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Tìm $\cos \varphi _{d}$ ?
Click để xem thêm...
Lời giải
Gọi độ lệch pha của $u_{AB}$ và $i$ là $\alpha$. Ta có:
$\dfrac{U_{AN}}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)}=\dfrac{U_{NB}}{\sin \left(\alpha +\varphi_d\right)}=\dfrac{U_{AB}}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2}-\varphi_d\right)}$
$\Rightarrow U_{AN}+2U_{NB}=\dfrac{U_{AB}}{\cos \varphi_d}\left[\cos \alpha +2\sin \left(\alpha + \varphi_d\right)\right]$
$=\dfrac{U_{AB}}{\cos \varphi_d}\left[\left(1+2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha \right]$
Với $\alpha \in \left [ 0,\dfrac{\pi }{2}\right ]$ thì hàm $f\left(\alpha\right)=\left(1+2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha $ sẽ đạt cực tiểu tại biên nên không thể nào khi đó $\alpha =\dfrac{\pi }{4}$ được. Em xem lại xem đề bài là cực đại hay cực tiểu?
Nếu đề bài là cực đại giá trị cực đại đó đạt được tại $f'\left(\alpha\right)=0$
$\Leftrightarrow \tan \alpha =\dfrac{2\cos \varphi_d}{1+2\sin \varphi_d}$
$\Leftrightarrow 2\cos \varphi_d =1+2\sin \varphi_d \Leftrightarrow \sin \left(\varphi_d-\dfrac{\pi }{4}\right)=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \Leftrightarrow \varphi_d=24,3^o$
$\Rightarrow \cos \varphi_d=0,91$

Hoặc có thể dùng bất đẳng thức BCS ở đoạn đánh giá:
$\left(1+2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha$
$\leq \sqrt{[\left(1+2\sin \varphi_d\right)^2+\left(2\cos \varphi_d\right)^2]\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)}$
$=\sqrt{\left(1+2\sin \varphi_d\right)^2+\left(2\cos \varphi_d\right)^2}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $\tan \alpha =\dfrac{2\cos \varphi_d}{1+2\sin \varphi_d}$
 
Last edited:
Upvote 0 Downvote
NTH 52 đã viết:
Lời giải
Ta có:
$$U_{AN}+2U_{MB}=\dfrac{\sqrt{R^2+Z_L^2}+2Z_C}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}U.$$
$$\Rightarrow \left(U_{AN}+2U_{MB}\right) min \Leftrightarrow f\left(Z_C\right)=\dfrac{\sqrt{R^2+Z_L^2}+2Z_C}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}} min$$
$$\Leftrightarrow f'\left(Z_C\right)=0 \Leftrightarrow Z_C=\dfrac{2R^2}{2Z_L+\sqrt{R^2+Z_L^2}}+Z_L.$$
Kết hợp với $Z_C-Z_L=R$ ta có $2R-2Z_L=\sqrt{R^2+Z_L^2}$
$$\Rightarrow R=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}Z_L \Rightarrow Z_C=\dfrac{7+\sqrt{7}}{3}Z_L.$$
$$\Rightarrow \cos \varphi_d =\dfrac{\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{\left(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\right)^2+1}}\approx 0,9114.$$
Click để xem thêm...
Tại $f'\left(Z_C\right)=0$ làcực đại Hiếu ơi
 
Upvote 0 Downvote
zkdcxoan đã viết:
Lời giải
Gọi độ lệch pha của $u_{AB}$ và $i$ là $\alpha$. Ta có:
$\dfrac{U_{AN}}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)}=\dfrac{U_{NB}}{\sin \left(\alpha +\varphi_d\right)}=\dfrac{U_{AB}}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2}-\varphi_d\right)}$
$\Rightarrow U_{AN}+2U_{NB}=\dfrac{U_{AB}}{\cos \varphi_d}\left(\cos \alpha +2\sin \left(\alpha + \varphi_d\right)\right)$
$=\dfrac{U_{AB}}{\cos \varphi_d}[\left(1+\cos 2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha ]$
Với $\alpha \in \left [ 0,\dfrac{\pi }{2}\right ]$ thì hàm $f\left(\alpha\right)=\left(1+\cos 2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha $ sẽ đạt cực tiểu tại biên nên không thể nào khi đó $\alpha =\dfrac{\pi }{4}$ được. Em xem lại xem đề bài là cực đại hay cực tiểu?
Nếu đề bài là cực đại giá trị cực đại đó đạt được tại $f'\left(\alpha\right)=0$
$\Leftrightarrow \tan \alpha =\dfrac{2\cos \varphi_d}{1+2\sin \varphi_d}$
$\Leftrightarrow 2\cos \varphi_d =1+2\sin \varphi_d \Leftrightarrow \sin \left(\varphi_d-\dfrac{\pi }{4}\right)=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \Leftrightarrow \varphi_d=24,3^o$
$\Rightarrow \cos \varphi_d=0,91$

Hoặc có thể dùng bất đẳng thức BCS ở đoạn đánh giá:
$\left(1+\cos 2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha$
$\leq \sqrt{[\left(1+\cos 2\sin \varphi_d\right)^2+\left(2\cos \varphi_d\right)^2]\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)}$
$=\sqrt{\left(1+\cos 2\sin \varphi_d\right)^2+\left(2\cos \varphi_d\right)^2}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $\tan \alpha =\dfrac{2\cos \varphi_d}{1+2\sin \varphi_d}$
Click để xem thêm...
Em cảm ơn anh nhiều.^^
 
Upvote 0 Downvote
zkdcxoan đã viết:
Lời giải
Gọi độ lệch pha của $u_{AB}$ và $i$ là $\alpha$. Ta có:
$\dfrac{U_{AN}}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)}=\dfrac{U_{NB}}{\sin \left(\alpha +\varphi_d\right)}=\dfrac{U_{AB}}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2}-\varphi_d\right)}$
$\Rightarrow U_{AN}+2U_{NB}=\dfrac{U_{AB}}{\cos \varphi_d}\left[\cos \alpha +2\sin \left(\alpha + \varphi_d\right)\right]$
$=\dfrac{U_{AB}}{\cos \varphi_d}\left[\left(1+2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha \right]$
Với $\alpha \in \left [ 0,\dfrac{\pi }{2}\right ]$ thì hàm $f\left(\alpha\right)=\left(1+2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha $ sẽ đạt cực tiểu tại biên nên không thể nào khi đó $\alpha =\dfrac{\pi }{4}$ được. Em xem lại xem đề bài là cực đại hay cực tiểu?
Nếu đề bài là cực đại giá trị cực đại đó đạt được tại $f'\left(\alpha\right)=0$
$\Leftrightarrow \tan \alpha =\dfrac{2\cos \varphi_d}{1+2\sin \varphi_d}$
$\Leftrightarrow 2\cos \varphi_d =1+2\sin \varphi_d \Leftrightarrow \sin \left(\varphi_d-\dfrac{\pi }{4}\right)=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \Leftrightarrow \varphi_d=24,3^o$
$\Rightarrow \cos \varphi_d=0,91$

Hoặc có thể dùng bất đẳng thức BCS ở đoạn đánh giá:
$\left(1+2\sin \varphi_d\right)\cos \alpha+2\cos \varphi_d \sin \alpha$
$\leq \sqrt{[\left(1+2\sin \varphi_d\right)^2+\left(2\cos \varphi_d\right)^2]\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)}$
$=\sqrt{\left(1+2\sin \varphi_d\right)^2+\left(2\cos \varphi_d\right)^2}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $\tan \alpha =\dfrac{2\cos \varphi_d}{1+2\sin \varphi_d}$
Click để xem thêm...
Cách giải hay. Thanks anh
 
Upvote 0 Downvote
Bạn phải đăng nhập hoặc đăng kí để trả lời.

Quảng cáo

Back
Top