Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x-3{{\log }_{3}}x+2m-7=0$ có hai nghiệm thực ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn...

Đặt $t={{\log }_{3}}x$.
Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-3t+2m-7=0 \left( * \right)$.
Ứng với mỗi nghiệm $t$ của phương trình $\left( * \right)$ có một nghiệm $x$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( -3 \right)}^{2}}-4\left( 2m-7 \right)>0\Leftrightarrow 9-8m+28>0\Leftrightarrow m<\frac{37}{8}$.
Gọi ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ là hai nghiệm phương trình $\left( * \right)$.
Theo định lý Viét ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3\Rightarrow {{\log }_{3}}{{x}_{1}}+{{\log }_{3}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right)=3\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27$.
Theo đề bài $\left( {{x}_{1}}+3 \right)\left( {{x}_{2}}+3 \right)=72\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+9=72\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=12$.
Vậy ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=12 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=9 \\
& {{x}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=2 \\
& {{t}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2$.
Theo định lý Viét ta có ${{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2\Leftrightarrow 2=2m-7\Leftrightarrow m=\frac{9}{2}$ (thỏa mãn).
Kết luận: $m=\frac{9}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.