Google
Câu hỏi: Tích tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y=\dfrac{1}{5}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ bằng
A. $\dfrac{5}{2}$
B. -2
C. -5
D. $\dfrac{1}{2}$
A. $\dfrac{5}{2}$
B. -2
C. -5
D. $\dfrac{1}{2}$
Tập xác định $\mathbb{R}$
$y=\dfrac{1}{5}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x+1$
$\Rightarrow {y}'={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-{{m}^{2}}+m+20\ge 0$
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-{{m}^{2}}+m+20\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ và dấu "=" xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện cần:
Ta thấy phương trình ${y}'=0$ có một nghiệm $x=-1$ nên để ${y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ thì ${y}'$ không đổi dấu khi qua $x=-1$, khi đó phương trình ${y}'=0$ có nghiệm kép là $x=-1$ ( $x=-1$ không thể là nghiệm bội của 4 phương trình ${y}'=0$ vì ${y}'$ không chứa số hạng ${{x}^{3}}$ ).
Ta suy ra được ${y}''\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}+2x+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện đủ:
Với $m=-2$, ta có
${y}'=4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+20x+14=4{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+\dfrac{5}{2} \right]\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra $m=-2$ thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Với $m=\dfrac{5}{2}$, ta có ${y}'=\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+20x+\dfrac{65}{4}=\dfrac{25}{4}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+\dfrac{8}{5} \right]\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Suy ra $m=\dfrac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Vậy $m=-2, m=\dfrac{5}{2}$ là các giá trị cần tìm. Khi đó tích các giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left( -2 \right).\dfrac{5}{2}=-5$.
$y=\dfrac{1}{5}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x+1$
$\Rightarrow {y}'={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-{{m}^{2}}+m+20\ge 0$
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-{{m}^{2}}+m+20\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ và dấu "=" xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện cần:
Ta thấy phương trình ${y}'=0$ có một nghiệm $x=-1$ nên để ${y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ thì ${y}'$ không đổi dấu khi qua $x=-1$, khi đó phương trình ${y}'=0$ có nghiệm kép là $x=-1$ ( $x=-1$ không thể là nghiệm bội của 4 phương trình ${y}'=0$ vì ${y}'$ không chứa số hạng ${{x}^{3}}$ ).
Ta suy ra được ${y}''\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}+2x+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện đủ:
Với $m=-2$, ta có
${y}'=4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+20x+14=4{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+\dfrac{5}{2} \right]\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra $m=-2$ thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Với $m=\dfrac{5}{2}$, ta có ${y}'=\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+20x+\dfrac{65}{4}=\dfrac{25}{4}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+\dfrac{8}{5} \right]\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Suy ra $m=\dfrac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Vậy $m=-2, m=\dfrac{5}{2}$ là các giá trị cần tìm. Khi đó tích các giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left( -2 \right).\dfrac{5}{2}=-5$.
Đáp án C.