Google
Câu hỏi: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Diện tích của thiết diện này bằng
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $2{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$.
Giả sử hình nón có đỉnh $S$, tâm đường tròn đáy là $O$. Thiết diện qua trục là $\Delta SAB$, thiết diện qua đỉnh là $\Delta SCD$ ; gọi $I$ là trung điểm của $CD$.
Theo giả thiết ta có $\Delta SAB$ vuông cân tại $S$, cạnh huyền $AB=a\sqrt{2}\Rightarrow r=OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$SA=SB=l=a$ $\Rightarrow h=SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta lại có $\widehat{SIO}=60{}^\circ \Rightarrow \sin 60{}^\circ =\dfrac{SO}{SI}\Rightarrow SI=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ ;
$ID=\sqrt{S{{D}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{6{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow CD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Diện tích thiết diện cần tìm là ${{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}.CD.SI=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $2{{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$.
Theo giả thiết ta có $\Delta SAB$ vuông cân tại $S$, cạnh huyền $AB=a\sqrt{2}\Rightarrow r=OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$SA=SB=l=a$ $\Rightarrow h=SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta lại có $\widehat{SIO}=60{}^\circ \Rightarrow \sin 60{}^\circ =\dfrac{SO}{SI}\Rightarrow SI=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ ;
$ID=\sqrt{S{{D}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{6{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow CD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Diện tích thiết diện cần tìm là ${{S}_{\Delta SCD}}=\dfrac{1}{2}.CD.SI=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án A.