Google
Câu hỏi: Thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, biết (H) được giới hạn bởi đường elip (E) : $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$.
A. ${{b}^{2}}a\pi $.
B. $\dfrac{{{b}^{2}}a}{3}\pi $.
C. $\dfrac{2{{b}^{2}}a}{3}\pi $.
D. $\dfrac{4{{b}^{2}}a}{3}\pi $.
A. ${{b}^{2}}a\pi $.
B. $\dfrac{{{b}^{2}}a}{3}\pi $.
C. $\dfrac{2{{b}^{2}}a}{3}\pi $.
D. $\dfrac{4{{b}^{2}}a}{3}\pi $.
Hoành độ giao điểm của (E) và trục Ox : x = ±a
Phương trình (E): $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{b}^{2}}\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow V=\pi \int\limits_{-a}^{b}{\left( {{b}^{2}}-\dfrac{{{b}^{2}}{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)dx}$
$=\pi \left( {{b}^{2}}x-\dfrac{{{b}^{2}}{{x}^{3}}}{3{{a}^{2}}} \right)\left| \begin{aligned}
& a \\
& -a \\
\end{aligned} \right.=\pi \left( {{b}^{2}}a-\dfrac{{{b}^{2}}a}{3} \right)-\pi \left( -{{b}^{2}}a+\dfrac{{{b}^{2}}a}{3} \right)=\dfrac{4{{b}^{2}}a}{3}\pi .$
Phương trình (E): $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{b}^{2}}\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)$
$\Rightarrow V=\pi \int\limits_{-a}^{b}{\left( {{b}^{2}}-\dfrac{{{b}^{2}}{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)dx}$
$=\pi \left( {{b}^{2}}x-\dfrac{{{b}^{2}}{{x}^{3}}}{3{{a}^{2}}} \right)\left| \begin{aligned}
& a \\
& -a \\
\end{aligned} \right.=\pi \left( {{b}^{2}}a-\dfrac{{{b}^{2}}a}{3} \right)-\pi \left( -{{b}^{2}}a+\dfrac{{{b}^{2}}a}{3} \right)=\dfrac{4{{b}^{2}}a}{3}\pi .$
Đáp án D.