Google
Câu hỏi: Thể tích $V$ của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=1$ xung quanh trục hoành là
A. $V=6\pi .$
B. $V=6{{\pi }^{2}}.$
C. $V=3{{\pi }^{2}}.$
D. $V=6{{\pi }^{2}}.$
${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow y=3\pm \sqrt{1-{{x}^{2}}}.$
$V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left[ {{\left( 3+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( 3-\sqrt{1-x} \right)}^{2}} \right]}dx=12\pi \int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx.}$
Đặt $x=\sin t\Rightarrow dx=\cos t.dt.$
Với $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2} \\
& x=-11\Rightarrow t=-\dfrac{\pi }{2}. \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow V=12\pi \int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos tdt=12\pi \int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}tdt=6{{\pi }^{2}}}.}$
A. $V=6\pi .$
B. $V=6{{\pi }^{2}}.$
C. $V=3{{\pi }^{2}}.$
D. $V=6{{\pi }^{2}}.$
${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow y=3\pm \sqrt{1-{{x}^{2}}}.$
$V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left[ {{\left( 3+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( 3-\sqrt{1-x} \right)}^{2}} \right]}dx=12\pi \int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx.}$
Đặt $x=\sin t\Rightarrow dx=\cos t.dt.$
Với $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2} \\
& x=-11\Rightarrow t=-\dfrac{\pi }{2}. \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow V=12\pi \int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos tdt=12\pi \int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}tdt=6{{\pi }^{2}}}.}$
Đáp án D.