Thầy Nam gửi 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $0,7\%$...

Gọi a là số tháng mà thầy Nam gửi tiền với lãi suất $0,7 \%$.
Gọi $b$ là số tháng mà thầy Nam gửi tiền với lãi suất $0,9 \%$.
Theo đề bài, ta có phương trình:
$5 000 000{{(1+0,7\%)}^{a}}.{{(1+1,15\%)}^{6}}.{{(1+0,9\%)}^{b}}=5 787 710,707(*)$
$\Leftrightarrow {{(1+0,7\%)}^{a}}.{{(1+0,9\%)}^{b}}=1,080790424$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}0<a<\log _{1,007} 1,080790424 \\ 0<b<\log _{1,009} 1,080790424 \Rightarrow \log _{1,009} 1,080790424<a+b<\log _{1,007} 1,080790424 \\ a, b \in \mathbb{N}\end{array}\right.$
$\Rightarrow 9 \leq a+b \leq 11$.
Với $a+b=9$, thử $a, b \in \mathbb{N}$ ta thấy (*) không thoả mãn.
Với $a+b=10$, thử $a, b \in \mathbb{N}$ ta được $a=6 ; b=4$ thoả mãn (*).
Với $a+b=11$, thử $a, b \in \mathbb{N}$ ta thấy (*) không thoả mãn.
Vậy thầy Nam gửi tổng thời gian là 16 tháng.