Google
Câu hỏi: Tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}$ là
A. $x=-3$ và $x=-2$
B. $x=-3$
C. $x=3$ và $x=2$
D. $x=3$
A. $x=-3$ và $x=-2$
B. $x=-3$
C. $x=3$ và $x=2$
D. $x=3$
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;3 \right\}$
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)\left( 2x-1+\sqrt{{{x}^{2}}+x+3} \right)}$
$=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{\left( 3x+1 \right)}{\left( x-3 \right)\left( 2x-1+\sqrt{{{x}^{2}}+x+3} \right)}=-\dfrac{7}{6}$
Tương tự $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=-\dfrac{7}{6}$. Suy ra đường thẳng $x=2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
$\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=+\infty $ ; $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=-\infty $
Suy ra đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Chú ý:
Có thể sử dụng chức năng CALC của máy tính để tính nhanh các giới hạn trên
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)\left( 2x-1+\sqrt{{{x}^{2}}+x+3} \right)}$
$=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{\left( 3x+1 \right)}{\left( x-3 \right)\left( 2x-1+\sqrt{{{x}^{2}}+x+3} \right)}=-\dfrac{7}{6}$
Tương tự $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=-\dfrac{7}{6}$. Suy ra đường thẳng $x=2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
$\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=+\infty $ ; $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} & \dfrac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}=-\infty $
Suy ra đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Chú ý:
Có thể sử dụng chức năng CALC của máy tính để tính nhanh các giới hạn trên
Đáp án D.