Google
Câu hỏi: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}$ trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là
A. $-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C.$
B. $x\cot x-\ln \left| \sin x \right|+C.$
C. $x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C.$
D. $-x\cot x-\ln \left( \sin x \right)+C.$
A. $-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C.$
B. $x\cot x-\ln \left| \sin x \right|+C.$
C. $x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C.$
D. $-x\cot x-\ln \left( \sin x \right)+C.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=-\cot x \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x\cot x+\int{\cot x}dx=-x\cot x+\int{\dfrac{\cos x}{\sin x}dx}=-x\cot x+\int{\dfrac{d\left( \sin x \right)}{\sin x}}$
$=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
Với $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow \ln \left| \sin x \right|=\ln \left( \sin x \right)$
Vậy $\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx=-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C}$
& u=x \\
& dv=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=-\cot x \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x\cot x+\int{\cot x}dx=-x\cot x+\int{\dfrac{\cos x}{\sin x}dx}=-x\cot x+\int{\dfrac{d\left( \sin x \right)}{\sin x}}$
$=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
Với $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow \ln \left| \sin x \right|=\ln \left( \sin x \right)$
Vậy $\int{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx=-x\cot x+\ln \left( \sin x \right)+C}$
Đáp án A.