Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $\left( m-2 \right){{.2}^{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}-\left( m+1 \right){{.2}^{{{x}^{2}}+2}}+2m=6$ có nghiệm là
A. $m\le 9$
B. $2\le m\le 9$
C. $2<m\le 9$
D. $2\le m<11$
A. $m\le 9$
B. $2\le m\le 9$
C. $2<m\le 9$
D. $2\le m<11$
$\left( m-2 \right){{.2}^{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}-\left( m+1 \right){{.2}^{{{x}^{2}}+2}}+2m=6\Leftrightarrow \left( m-2 \right){{.2}^{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}-2\left( m+1 \right){{.2}^{{{x}^{2}}+1}}+2m=6$
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow t\ge 2$ ta có: $\left( m-2 \right){{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+2m-6=0$
$\Leftrightarrow m{{t}^{2}}-2mt+2m=2{{t}^{2}}+2t+6\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)=2\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{2\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)}{{{t}^{2}}-2t+2}=f\left( t \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{2\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)}{{{t}^{2}}-2t+2}$ với $t\ge 2$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=2.\dfrac{\left( 2t+1 \right)\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)-\left( 2t-2 \right)\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{2\left( 3{{t}^{2}}+2t-8 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}<0\left( t\ge 2 \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)$ nghịch biến trên nửa khoảng $\left[ 2;+\infty \right)$
Mặt khác $f\left( 2 \right)=9,\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=2\Rightarrow $ Phương trình $m=f\left( t \right)$ có nghiệm $t\in \left[ 2;+\infty \right)\Leftrightarrow 2<m\le 9$.
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow t\ge 2$ ta có: $\left( m-2 \right){{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+2m-6=0$
$\Leftrightarrow m{{t}^{2}}-2mt+2m=2{{t}^{2}}+2t+6\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)=2\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{2\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)}{{{t}^{2}}-2t+2}=f\left( t \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{2\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)}{{{t}^{2}}-2t+2}$ với $t\ge 2$
Ta có: ${f}'\left( t \right)=2.\dfrac{\left( 2t+1 \right)\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)-\left( 2t-2 \right)\left( {{t}^{2}}+t+3 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{2\left( 3{{t}^{2}}+2t-8 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}<0\left( t\ge 2 \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)$ nghịch biến trên nửa khoảng $\left[ 2;+\infty \right)$
Mặt khác $f\left( 2 \right)=9,\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=2\Rightarrow $ Phương trình $m=f\left( t \right)$ có nghiệm $t\in \left[ 2;+\infty \right)\Leftrightarrow 2<m\le 9$.
Đáp án C.