Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $\left(...

The Knowledge · 22/2/22

Câu hỏi: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

(m - 2) {.2}^{2 (x^{2} + 1)} - (m + 1) {.2}^{x^{2} + 2} + 2 m = 6

có nghiệm là
A.

m \leq 9

B.

2 \leq m \leq 9

C.

2 < m \leq 9

D.

2 \leq m < 11

(m - 2) {.2}^{2 (x^{2} + 1)} - (m + 1) {.2}^{x^{2} + 2} + 2 m = 6 \Leftrightarrow (m - 2) {.2}^{2 (x^{2} + 1)} - 2 (m + 1) {.2}^{x^{2} + 1} + 2 m = 6

Đặt

t = 2^{x^{2} + 1} \Rightarrow t \geq 2

ta có:

(m - 2) t^{2} - 2 (m + 1) t + 2 m - 6 = 0

\Leftrightarrow m t^{2} - 2 m t + 2 m = 2 t^{2} + 2 t + 6 \Leftrightarrow m (t^{2} - 2 t + 2) = 2 (t^{2} + t + 3) \Leftrightarrow m = \frac{2 (t^{2} + t + 3)}{t^{2} - 2 t + 2} = f (t)

Xét hàm số

f (t) = \frac{2 (t^{2} + t + 3)}{t^{2} - 2 t + 2}

với

t \geq 2

Ta có:

f^{'} (t) = 2. \frac{(2 t + 1) (t^{2} - 2 t + 2) - (2 t - 2) (t^{2} + t + 3)}{{(t^{2} - 2 t + 2)}^{2}} = - \frac{2 (3 t^{2} + 2 t - 8)}{{(t^{2} - 2 t + 2)}^{2}} < 0 (t \geq 2)

\Rightarrow f^{'} (t)

nghịch biến trên nửa khoảng

[2; + \infty)

Mặt khác

f (2) = 9, lim_{t \to + \infty} f (t) = 2 \Rightarrow

Phương trình

m = f (t)

có nghiệm

t \in [2; + \infty) \Leftrightarrow 2 < m \leq 9

.

Đáp án C.