Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m

nghịch biến trên khoảng

(1; 2)

là

(- \infty; \frac{p}{q}),

trong đó phân số

\frac{p}{q}

tối giản và

q > 0.

Hỏi tổng

p + q

là:
A. 7.
B. 5.
C. 9.
D. 3.

Ta có:

y^{'} = - 4 x^{3} + 2 (2 m - 3) x = 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3)

Hàm số nghịch biến trên

(1; 2) \Leftrightarrow y^{'} \leq 0, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3) \leq 0, \forall x \in (1; 2)

\Leftrightarrow - 2 x^{2} + 2 m - 3 \leq 0, \forall x \in (1; 2)

(vì

2 x > 0, \forall x \in (1; 2)

)

\Leftrightarrow 2 m - 3 \leq 2 x^{2}, \forall x \in (1; 2)

Dễ thấy hàm số

f (x) = 2 x^{2}

đồng biến trên

(1; 2)

nên

f (x) > f (1) = 2

Do đó

2 m - 3 \leq 2 x^{2}, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow 2 m - 3 \leq 2 \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{2}

Suy ra

m \in (- \infty; \frac{5}{2}] \Rightarrow p = 5, q = 2 \Rightarrow p + q = 7

Đáp án A.