Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+m$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ là $\left( -\infty ;\dfrac{p}{q} \right),$ trong đó phân số $\dfrac{p}{q}$ tối giản và $q>0.$ Hỏi tổng $p+q$ là:
A. 7.
B. 5.
C. 9.
D. 3.
A. 7.
B. 5.
C. 9.
D. 3.
Ta có: ${y}'=-4{{x}^{3}}+2\left( 2m-3 \right)x=2x\left( -2{{x}^{2}}+2m-3 \right)$
Hàm số nghịch biến trên $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow 2x\left( -2{{x}^{2}}+2m-3 \right)\le 0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2m-3\le 0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ (vì $2x>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ )
$\Leftrightarrow 2m-3\le 2{{x}^{2}},\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Dễ thấy hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}$ đồng biến trên $\left( 1;2 \right)$ nên $f\left( x \right)>f\left( 1 \right)=2$
Do đó $2m-3\le 2{{x}^{2}},\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow 2m-3\le 2\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{2}$
Suy ra $m\in \left( -\infty ;\dfrac{5}{2} \right]\Rightarrow p=5,q=2\Rightarrow p+q=7$
Hàm số nghịch biến trên $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow 2x\left( -2{{x}^{2}}+2m-3 \right)\le 0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2m-3\le 0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ (vì $2x>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ )
$\Leftrightarrow 2m-3\le 2{{x}^{2}},\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Dễ thấy hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}$ đồng biến trên $\left( 1;2 \right)$ nên $f\left( x \right)>f\left( 1 \right)=2$
Do đó $2m-3\le 2{{x}^{2}},\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow 2m-3\le 2\Leftrightarrow m\le \dfrac{5}{2}$
Suy ra $m\in \left( -\infty ;\dfrac{5}{2} \right]\Rightarrow p=5,q=2\Rightarrow p+q=7$
Đáp án A.