Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+2\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-8 \right)x+2$ đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$ là
A. $m=-9$.
B. $m=1$.
C. $m=-2$.
D. $m=3$.
A. $m=-9$.
B. $m=1$.
C. $m=-2$.
D. $m=3$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+2\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-8 \right)x+2$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+4\left( 2m-1 \right)x-{{m}^{2}}+8$ ; ${f}''\left( x \right)=-6x+4\left( 2m-1 \right)$.
Để $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số thì ${f}'\left( -1 \right)=0$
${f}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+8m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-9 \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=1$ ta có ${f}''\left( -1 \right)>0$.
Với $m=-9$ ta có ${f}''\left( -1 \right)<0$.
Vậy $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+2\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-8 \right)x+2$ khi và chỉ khi $m=1$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+4\left( 2m-1 \right)x-{{m}^{2}}+8$ ; ${f}''\left( x \right)=-6x+4\left( 2m-1 \right)$.
Để $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số thì ${f}'\left( -1 \right)=0$
${f}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+8m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-9 \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=1$ ta có ${f}''\left( -1 \right)>0$.
Với $m=-9$ ta có ${f}''\left( -1 \right)<0$.
Vậy $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+2\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-8 \right)x+2$ khi và chỉ khi $m=1$.
Đáp án B.