Tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đường cong $\left(...

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_o$ của đồ thị hàm số $y=x^3$ là
$y=3x_o^2(x-x_o)+x_o^3=3x_o^2.x-2x_o^3\left(1\right)$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_1$ của đồ thị hàm số $y=x^2+x+m$ là
$y=(2x_1+1)(x-x_1)+x_1^2+x_1+m=(2x_1+1).x-x^2+m\left(2\right)$
Để hai đồ thị hàm số có tiếp tuyến chung thì $\left(1\right)\equiv \left(2\right)$
$\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 3x_o^2=2x_1+1\\ & -2x_o^3=-x_1^2+m\end{array}\Rightarrow -2x_o^3=-{\left({\displaystyle \frac{3x_o^2-1}{2}}\right)}^2+m\iff 4m=9x_o^4-8x_o^3-6x_o+1$
Xét $y=9x_o^4-8x_o^3-6x_o^2+1;y^{\prime }=36x_o^3-24x_o^2-12x_o$
Khi đó $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& x_o=0\\ & 3x_o^2-2x_o-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x_o=0\\ & x_o=1\\ & x_o=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

Bảng biến thiên

Do đó phương trình có 4 nghiệm khi ${\displaystyle \frac{5}{27}}<m<{\displaystyle \frac{1}{4}}$