Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đường cong $\left( {{C}_{1}} \right):y={{x}^{3}}$ và $\left( {{C}_{2}} \right):y={{x}^{2}}+x+m$ có 4 tiếp tuyến chung là
A. $\dfrac{4}{27}<m<\dfrac{3}{8}.$
B. $\dfrac{1}{27}<m<\dfrac{1}{8}.$
C. $\dfrac{5}{27}<m<\dfrac{1}{4}.$
D. $\dfrac{1}{8}<m<\dfrac{3}{8}.$
A. $\dfrac{4}{27}<m<\dfrac{3}{8}.$
B. $\dfrac{1}{27}<m<\dfrac{1}{8}.$
C. $\dfrac{5}{27}<m<\dfrac{1}{4}.$
D. $\dfrac{1}{8}<m<\dfrac{3}{8}.$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm ${{x}_{o}}$ của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}$ là
$y=3x_{o}^{2}\left( x-{{x}_{o}} \right)+x_{o}^{3}=3x_{o}^{2}.x-2x_{o}^{3} \left( 1 \right)$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm ${{x}_{1}}$ của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+x+m$ là
$y=\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{2}+{{x}_{1}}+m=\left( 2{{x}_{1}}+1 \right).x-{{x}^{2}}+m \left( 2 \right)$
Để hai đồ thị hàm số có tiếp tuyến chung thì $\left( 1 \right)\equiv \left( 2 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x_{o}^{2}=2{{x}_{1}}+1 \\
& -2x_{o}^{3}=-x_{1}^{2}+m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -2x_{o}^{3}=-{{\left( \dfrac{3x_{o}^{2}-1}{2} \right)}^{2}}+m\Leftrightarrow 4m=9x_{o}^{4}-8x_{o}^{3}-6{{x}_{o}}+1$
Xét $y=9x_{o}^{4}-8x_{o}^{3}-6x_{o}^{2}+1;y'=36x_{o}^{3}-24x_{o}^{2}-12{{x}_{o}}$
Khi đó $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{o}}=0 \\
& 3x_{o}^{2}-2{{x}_{o}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{o}}=0 \\
& {{x}_{o}}=1 \\
& {{x}_{o}}=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Do đó phương trình có 4 nghiệm khi $\dfrac{5}{27}<m<\dfrac{1}{4}$
$y=3x_{o}^{2}\left( x-{{x}_{o}} \right)+x_{o}^{3}=3x_{o}^{2}.x-2x_{o}^{3} \left( 1 \right)$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm ${{x}_{1}}$ của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+x+m$ là
$y=\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( x-{{x}_{1}} \right)+x_{1}^{2}+{{x}_{1}}+m=\left( 2{{x}_{1}}+1 \right).x-{{x}^{2}}+m \left( 2 \right)$
Để hai đồ thị hàm số có tiếp tuyến chung thì $\left( 1 \right)\equiv \left( 2 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x_{o}^{2}=2{{x}_{1}}+1 \\
& -2x_{o}^{3}=-x_{1}^{2}+m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -2x_{o}^{3}=-{{\left( \dfrac{3x_{o}^{2}-1}{2} \right)}^{2}}+m\Leftrightarrow 4m=9x_{o}^{4}-8x_{o}^{3}-6{{x}_{o}}+1$
Xét $y=9x_{o}^{4}-8x_{o}^{3}-6x_{o}^{2}+1;y'=36x_{o}^{3}-24x_{o}^{2}-12{{x}_{o}}$
Khi đó $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{o}}=0 \\
& 3x_{o}^{2}-2{{x}_{o}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{o}}=0 \\
& {{x}_{o}}=1 \\
& {{x}_{o}}=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Do đó phương trình có 4 nghiệm khi $\dfrac{5}{27}<m<\dfrac{1}{4}$
Đáp án C.