Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\log \left( mx...

Ta có $x=0$ không là nghiệm của phương trình
Với $x\ne 0:\log \left( mx \right)=2\log \left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1>0 \\
& mx={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& m=x+2+\dfrac{1}{x} \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+2+\dfrac{1}{x}$ với .
${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}};{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$ (do $x\in \left( -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$ ).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m<0\vee m\ge 4$ là giá trị cần tìm.