Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{x}}-m{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{x}}>{{3}^{x+1}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ là :
A. $m<-\dfrac{7}{4}$.
B. $m<-\dfrac{9}{4}$.
C. $m<-2$.
D. $m<-\dfrac{11}{4}$.
A. $m<-\dfrac{7}{4}$.
B. $m<-\dfrac{9}{4}$.
C. $m<-2$.
D. $m<-\dfrac{11}{4}$.
+) Xét bất phương trình ${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{x}}-m{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{x}}>{{3}^{x+1}}$ $\left( 1 \right)$.
+) $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{x}}>3$.
+) Nhận xét : $\dfrac{\sqrt{10}+1}{3}.\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}=1\Rightarrow \left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)={{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-1}}$.
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-x}}>3$.
+) Đặt $t={{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}$, $t>0$
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành: $t-\dfrac{m}{t}>3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t>m$ $\left( 2 \right)$.
+) $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t>0$.
+) Ta có bảng biến thiên
+) Từ bảng biến thiên ta có $m<-\dfrac{9}{4}$.
+) $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{x}}>3$.
+) Nhận xét : $\dfrac{\sqrt{10}+1}{3}.\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}=1\Rightarrow \left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)={{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-1}}$.
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-x}}>3$.
+) Đặt $t={{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}$, $t>0$
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành: $t-\dfrac{m}{t}>3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t>m$ $\left( 2 \right)$.
+) $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t>0$.
+) Ta có bảng biến thiên
+) Từ bảng biến thiên ta có $m<-\dfrac{9}{4}$.
Đáp án B.