Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình $\left( 3m+1 \right){{12}^{x}}+\left( 2-m \right){{6}^{x}}+{{3}^{x}}<0$ nghiệm đúng với mọi $x>0$ là:
A. $\left( -\infty ;-2 \right).$
B. $\left( -\infty ;-2 \right].$
C. $\left( -\infty ;-\dfrac{1}{3} \right).$
D. $\left( -2;-\dfrac{1}{3} \right).$
A. $\left( -\infty ;-2 \right).$
B. $\left( -\infty ;-2 \right].$
C. $\left( -\infty ;-\dfrac{1}{3} \right).$
D. $\left( -2;-\dfrac{1}{3} \right).$
Đặt $t={{2}^{x}}$, do $x>0\Rightarrow {{2}^{x}}>{{2}^{0}}\Rightarrow t>1.$
Bất phương trình (1) trở thành $\left( 3m+1 \right){{t}^{2}}+\left( 2-m \right)t+1<0$
$\Leftrightarrow \left( 3{{t}^{2}}-t \right)m+\left( {{t}^{2}}+2t+1 \right)<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{t\left( 3t-1 \right)}$, vì $t\left( 3t-1 \right)>0,\forall t>1.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-\dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{t\left( 3t-1 \right)},t>1$. Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{\left( t+1 \right)\left( 7t-1 \right)}{{{t}^{2}}{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}}>0,\forall t>1.$
Bảng biến thiên
Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m\le -2.$
Bất phương trình (1) trở thành $\left( 3m+1 \right){{t}^{2}}+\left( 2-m \right)t+1<0$
$\Leftrightarrow \left( 3{{t}^{2}}-t \right)m+\left( {{t}^{2}}+2t+1 \right)<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{t\left( 3t-1 \right)}$, vì $t\left( 3t-1 \right)>0,\forall t>1.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-\dfrac{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}{t\left( 3t-1 \right)},t>1$. Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{\left( t+1 \right)\left( 7t-1 \right)}{{{t}^{2}}{{\left( 3t-1 \right)}^{2}}}>0,\forall t>1.$
Bảng biến thiên
Đáp án B.