Google
Câu hỏi: Tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\dfrac{2\cos x-1}{\cos x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ là
A. $m>\dfrac{1}{2}$.
B. $m\ge \dfrac{1}{2}$.
C. $m>1$.
D. $m\ge 1$.
A. $m>\dfrac{1}{2}$.
B. $m\ge \dfrac{1}{2}$.
C. $m>1$.
D. $m\ge 1$.
Đặt $t=\cos x$, với $t\in \left( 0 ; 1 \right)$. Khi đó $f\left( t \right)=\dfrac{2t-1}{t-m}$.
Vì $t=\cos x$ là hàm số nghịch biến trên $\left( 0 ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ nên bài toán trở thành tìm $m$ để hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{-2m+1}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2m+1<0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.
Vì $t=\cos x$ là hàm số nghịch biến trên $\left( 0 ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ nên bài toán trở thành tìm $m$ để hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{-2m+1}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2m+1<0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge 1$.
Đáp án D.