Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình...

Cộng thêm vào hai vế của phương trình một lượng $1+\sqrt{\sin x+1}$ thì phương trình trở thành
$m+1+\sqrt{\sin x+1}+\sqrt{m+1+\sqrt{\sin x+1}}=\sin x+1+\sqrt{\sin x+1} \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+\sqrt{x}$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0 \forall x>0.$
Khi đó phương trình (*) $\Leftrightarrow f\left( m+1+\sqrt{\sin x+1} \right)=f\left( \sin x+1 \right)$
$\Leftrightarrow m+1+\sqrt{\sin x+1}=\sin x+1\left( ** \right).$
Đặt $t=\sqrt{\sin x+1}$ với $t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right],$ thì phương trnhf (**) trở thành ${{t}^{2}}-t-1-m=0.$
Vậy để phương trình $m+\sqrt{m+1+\sqrt{\sin x+1}}=\sin x$ có nghiệm thì phương trình
${{t}^{2}}-t-1-m=0$ phải có nghiệm $t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right].$
Xét hàm $g\left( t \right)={{t}^{2}}-t-1$ có đạo hàm ${g}'\left( t \right)=2t-1.$ Cho ${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}.$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m\in \left[ -\dfrac{5}{4};1-\sqrt{2} \right]$ thì phương trình ${{t}^{2}}-t-1-m=0$ có nghiệm $t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]$ suy ra $m\in \left[ -\dfrac{5}{4};1-\sqrt{2} \right]$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{5}{4} \\
& b=1-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=a+b=-\dfrac{1}{4}-\sqrt{2}.$