Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình...

Phương trình $\Leftrightarrow \left( m+1+\sqrt{1+\sin x} \right)+\sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=\left( 1+\sin x \right)+\sqrt{1+\sin x}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ với $t\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Hàm này đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ nên suy ra $f\left( \sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}} \right)=f\left( \sqrt{1+\sin x} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=\sqrt{1+\sin x}\Leftrightarrow m+1+\sqrt{1+\sin x}=1+\sin x\Leftrightarrow m=\sin x-\sqrt{1+\sin x}$
Đặt $u=\sqrt{1+\sin x}$, vì $\sin x\in \left[ -1;1 \right]\Leftarrow u\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]$
Phương trình trở thành: $m={{u}^{2}}-u-1$
Xét hàm $g\left( u \right)={{u}^{2}}-u-1$ với $u\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]$
Ta có ${g}'\left( u \right)=2u-1;{g}'\left( u \right)=0\Leftrightarrow u=\dfrac{1}{2}$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình
có nghiệm $\Leftrightarrow -\dfrac{5}{4}\le m\le 1-\sqrt{2}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{5}{4} \\
& b=1-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=-\dfrac{1}{4}-\sqrt{2}$