Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình...

Phương trình $\iff (m+1+\sqrt{1+\sin x})+\sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=(1+\sin x)+\sqrt{1+\sin x}$
Xét hàm số $f\left(t\right)=t^2+t$ với $t\in [0;+\mathrm{\infty })$.
Hàm này đồng biến trên $[0;+\mathrm{\infty })$ nên suy ra $f\left(\sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}\right)=f\left(\sqrt{1+\sin x}\right)$
$\iff \sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=\sqrt{1+\sin x}\iff m+1+\sqrt{1+\sin x}=1+\sin x\iff m=\sin x-\sqrt{1+\sin x}$
Đặt $u=\sqrt{1+\sin x}$, vì $\sin x\in [-1;1]\Leftarrow u\in [0;\sqrt{2}]$
Phương trình trở thành: $m=u^2-u-1$
Xét hàm $g\left(u\right)=u^2-u-1$ với $u\in [0;\sqrt{2}]$
Ta có $g^{\prime }\left(u\right)=2u-1;g^{\prime }\left(u\right)=0\iff u={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình
có nghiệm $\iff -{\displaystyle \frac{5}{4}}\le m\le 1-\sqrt{2}$
$\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& a=-{\displaystyle \frac{5}{4}}\\ & b=1-\sqrt{2}\end{array}\Rightarrow a+b=-{\displaystyle \frac{1}{4}}-\sqrt{2}$