Google
Câu hỏi: Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $\log _{2}^{2}x-\left( 2m+5 \right){{\log }_{2}}x+{{m}^{2}}+5m+4<0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 2;4 \right]$ là
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left[ 0;1 \right]$.
C. $\left( -2;0 \right)$.
D. $\left[ -2;0 \right]$.
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left[ 0;1 \right]$.
C. $\left( -2;0 \right)$.
D. $\left[ -2;0 \right]$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x \underrightarrow{x\in \left[ 2;4 \right]} t\in \left[ 1;2 \right]$
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương:
${{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+{{m}^{2}}+5m+4<0$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left[ 1;2 \right]$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+\left( m+1 \right)\left( m+4 \right)<0, \forall t\in \left[ 1;2 \right] \\
& \Leftrightarrow \left[ t-\left( m+1 \right) \right]\left[ t-\left( m+4 \right) \right]<0, \forall t\in \left[ 1;2 \right] \\
\end{aligned}$
Ta có trục xét dấu:
Suy ra $\left[ 1;2 \right]\subset \left( m+1;m+4 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+1<1 \\
& m+4>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<0 \\
& m>-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -2;0 \right)$
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương:
${{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+{{m}^{2}}+5m+4<0$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left[ 1;2 \right]$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+\left( m+1 \right)\left( m+4 \right)<0, \forall t\in \left[ 1;2 \right] \\
& \Leftrightarrow \left[ t-\left( m+1 \right) \right]\left[ t-\left( m+4 \right) \right]<0, \forall t\in \left[ 1;2 \right] \\
\end{aligned}$
Ta có trục xét dấu:
& m+1<1 \\
& m+4>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<0 \\
& m>-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -2;0 \right)$
Đáp án C.