Tập tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số...

Ta có $\sqrt{-2{{x}^{2}}+5x-2}$ xác định khi $x\in \left[ \dfrac{1}{2};2 \right]$.
Suy ra đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang.
Do đó: đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi ${{x}^{6}}+6{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+3\left( 5-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}-6mx+10=0\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ \dfrac{1}{2};2 \right]$.
Phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+15{{x}^{2}}+10={{\left( mx+1 \right)}^{3}}+3\left( mx+1 \right)-4$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}+3\left( {{x}^{2}}+2 \right)={{\left( mx+1 \right)}^{3}}+3\left( mx+1 \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{t}^{3}}+3t$, ta có $f'\left( x \right)=3{{t}^{2}}+3>0\forall t$ do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+2 \right)=f\left( mx+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2=mx+1\Leftrightarrow m=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$ (do $x\in \left[ \dfrac{1}{2};2 \right]$ ).
Xét hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}$ trên $\left[ \dfrac{1}{2};2 \right]$. Ta có $y'=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=1$ (do $x\in \left[ \dfrac{1}{2};2 \right]$ ).
Vậy điều kiện thỏa mãn là $2<m\le 2,5\Rightarrow a=2;b=2,5\Rightarrow T=30$.