Google
Câu hỏi: Tập nghiệm S của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x+1 \right)=1$ là
A. $S=\left\{ \dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right\}$
B. $S=\left\{ 3 \right\}$
C. $S=\left\{ 2-\sqrt{5};2+\sqrt{5} \right\}$
D. $S=\left\{ 2+\sqrt{5} \right\}$
A. $S=\left\{ \dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right\}$
B. $S=\left\{ 3 \right\}$
C. $S=\left\{ 2-\sqrt{5};2+\sqrt{5} \right\}$
D. $S=\left\{ 2+\sqrt{5} \right\}$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& x+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>1$
Ta có: ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x+1 \right)=1\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\dfrac{1}{2}}}}}\left( x-1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)=1$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}2\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=2\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2+\sqrt{5}(thoa man) \\
& x=2-\sqrt{5}(loai) \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện $x>1$, suy ra tập nghiệm phương trình là $S=\left\{ 2+\sqrt{5} \right\}$.
& x-1>0 \\
& x+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>1$
Ta có: ${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x+1 \right)=1\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\dfrac{1}{2}}}}}\left( x-1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)=1$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}2\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=2\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2+\sqrt{5}(thoa man) \\
& x=2-\sqrt{5}(loai) \\
\end{aligned} \right.$
Đối chiếu điều kiện $x>1$, suy ra tập nghiệm phương trình là $S=\left\{ 2+\sqrt{5} \right\}$.
Đáp án D.