Google
Câu hỏi: Tập nghiệm của bất phương trình $({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\dfrac{1}{27})\sqrt{{{3}^{x+1}}-1}\le 0$ chứa bao nhiêu số nguyên ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Điều kiện ${{3}^{x+1}}-1\ge 0\Leftrightarrow {{3}^{x+1}}\ge 1\Leftrightarrow x\ge -1$.
+ Ta có $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình.
+ Với $x>-1$, bất phương trình tương đương với $({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\dfrac{1}{27})\le 0$.
Đặt $t={{3}^{x}}>0$, ta có $({{t}^{2}}-9)(t-\dfrac{1}{27})\le 0$ $\Leftrightarrow (t-3)(t+3)(t-\dfrac{1}{27})\le 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t\le -3 \\
& \dfrac{1}{27}\le t\le 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện $t={{3}^{x}}>0$ ta được nghiệm $\dfrac{1}{27}\le t\le 3$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{27}\le {{3}^{x}}\le 3\Leftrightarrow -3\le x\le 1$.
Kết hợp điều kiện $x>-1$ ta được $-1<x\le 1$ suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.
+ Ta có $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình.
+ Với $x>-1$, bất phương trình tương đương với $({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\dfrac{1}{27})\le 0$.
Đặt $t={{3}^{x}}>0$, ta có $({{t}^{2}}-9)(t-\dfrac{1}{27})\le 0$ $\Leftrightarrow (t-3)(t+3)(t-\dfrac{1}{27})\le 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t\le -3 \\
& \dfrac{1}{27}\le t\le 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện $t={{3}^{x}}>0$ ta được nghiệm $\dfrac{1}{27}\le t\le 3$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{27}\le {{3}^{x}}\le 3\Leftrightarrow -3\le x\le 1$.
Kết hợp điều kiện $x>-1$ ta được $-1<x\le 1$ suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.
Đáp án B.