Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{4}}\left( x+7 \right)>{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$ là khoảng $\left( a;b \right).$ Giá trị $M=2a-b$...

Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ.
- Đưa về cùng cơ số.
- Giải bất phương trình logarit: ${{\log }_{a}}x>{{\log }_{a}}y\Leftrightarrow x>y\left( a>1 \right).$
Cách giải:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{aligned}
& x+7>0 \\
& x+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-7 \\
& x>-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>-1.$
Ta có
${{\log }_{4}}\left( x+7 \right)>{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( x+7 \right)>{{\log }_{4}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow x+7>{{\left( x+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6<0$
$\Leftrightarrow -3<x<2$
Kết hợp ĐKXĐ ta có $-1<x<2.$
$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $M=2a-b=2\left( -1 \right)-2=-4.$