Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x-6{{m}^{3}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ là:
A. $\left( -\infty ;1 \right].$
B. $\left( -\infty ;2 \right].$
C. $\left( -\infty ;0 \right].$
D. $\left[ 2;+\infty \right).$
A. $\left( -\infty ;1 \right].$
B. $\left( -\infty ;2 \right].$
C. $\left( -\infty ;0 \right].$
D. $\left[ 2;+\infty \right).$
+ Hàm số xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$
+ Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3$.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\begin{aligned}
& \Leftrightarrow y'\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\ge 0\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}\ge 2m\Leftrightarrow \underbrace{x+\dfrac{1}{x}}_{f(x)}\ge 2m\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min f(x)}} \ge 2m\text{ (1)} \\
\end{aligned}$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có : $x+\dfrac{1}{x}\ge 2\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min f(x)}} =2$. Do đó :
$(1)\Leftrightarrow 2\ge 2m\Leftrightarrow m\le 1$
+ Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3$.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\begin{aligned}
& \Leftrightarrow y'\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3\ge 0\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}\ge 2m\Leftrightarrow \underbrace{x+\dfrac{1}{x}}_{f(x)}\ge 2m\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min f(x)}} \ge 2m\text{ (1)} \\
\end{aligned}$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có : $x+\dfrac{1}{x}\ge 2\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min f(x)}} =2$. Do đó :
$(1)\Leftrightarrow 2\ge 2m\Leftrightarrow m\le 1$
Đáp án A.