Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\dfrac{m\cos x+1}{\cos x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0; \dfrac{\pi }{3} \right)$ là $\left[ -\dfrac{a}{b}; c \right)$. Tổng $a+b+c$ bằng
A. 4
B. 7
C. 3
D. 5
A. 4
B. 7
C. 3
D. 5
Hàm số $y=\dfrac{m\cos x+1}{\cos x+m}$
Điều kiện xác định: $\cos x\ne -m$
Đặt $t=\cos x$ với $x\in \left( 0; \dfrac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2}; 1 \right)$
Hàm số ban đầu trở thành $y=\dfrac{mt+1}{t+m}\Rightarrow {y}'=\dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}{{{\left( t+m \right)}^{2}}}$
Yêu cầu bài toán trở thành
${y}'=\dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}{{{\left( t+m \right)}^{2}}}<0, \forall t\in \left( \dfrac{1}{2}; 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-1<0 \\
& -m\notin \left( \dfrac{1}{2}; 1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<m<1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge -\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m<1\Leftrightarrow m\in \left[ -\dfrac{1}{2}; 1 \right)$
Do đó $a+b+c=4$
Điều kiện xác định: $\cos x\ne -m$
Đặt $t=\cos x$ với $x\in \left( 0; \dfrac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2}; 1 \right)$
Hàm số ban đầu trở thành $y=\dfrac{mt+1}{t+m}\Rightarrow {y}'=\dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}{{{\left( t+m \right)}^{2}}}$
Yêu cầu bài toán trở thành
${y}'=\dfrac{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}{{{\left( t+m \right)}^{2}}}<0, \forall t\in \left( \dfrac{1}{2}; 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-1<0 \\
& -m\notin \left( \dfrac{1}{2}; 1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<m<1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge -\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m<1\Leftrightarrow m\in \left[ -\dfrac{1}{2}; 1 \right)$
Do đó $a+b+c=4$
Đáp án A.